變態跳臺階

NowCoder

題目描述:

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。

###解題思路：

關於本題，前提是n個臺階會有一次n階的跳法。分析如下: 
  f(1) = 1 
  f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2階一次跳2階的次數。 
  f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)  
  ... 
  f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)  
  說明：  
  1）這裡的f(n) 代表的是n個臺階有一次1,2,...n階的 跳法數。 
  2）n = 1時，只有1種跳法，f(1) = 1 
  3) n = 2時，會有兩個跳得方式，一次1階或者2階，這回歸到了問題（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)  
  4) n = 3時，會有三種跳得方式，1階、2階、3階， 
    那麼就是第一次跳出1階後面剩下：f(3-1);第一次跳出2階，剩下f(3-2)；第一次3階，那麼剩下f(3-3) 
    因此結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3) 
  5) n = n時，會有n中跳的方式，1階、2階...n階，得出結論： 
    f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) =>
    f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1) 
  6) 由以上已經是一種結論，但是為了簡單，我們可以繼續簡化： 
    f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) 
    f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1) 
      可以得出： 
      f(n) = 2*f(n-1) 
  7) 得出最終結論,在n階臺階，一次有1、2、...n階的跳的方式時，總得跳法為： 
             | 1       ,(n=0 )  
  f(n) =     | 1       ,(n=1 ) 
             | 2*f(n-1),(n>=2)
 

public class Solution{
    public int JumpFloorII(int target){
        if (target <= 0)
            return -1;
        if (target == 1)
            return 1;
        else{
            return 2*JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}