程式設計師程式設計藝術-----第六章-----求解500萬以內的親和數(素數、完數)
前奏
本章陸續開始，除了繼續保持原有的字串、陣列等面試題之外，會有意識的間斷性節選一些有關數字趣味小而巧的面試題目，重在突出思路的“巧”，和“妙”。本章親和數問題之關鍵字，“500萬”，“線性複雜度”。
第一節、親和數問題
題目描述：
求500萬以內的所有親和數
如果兩個數a和b，a的所有真因數之和等於b,b的所有真因數之和等於a,則稱a,b是一對親和數。
例如220和284，1184和1210，2620和2924。
分析：
首先得明確到底是什麼是親和數?
親和數問題最早是由畢達哥拉斯學派發現和研究的。他們在研究數字的規律的時候發現有以下性質特點的兩個數：
220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；
284的真因子是：1、2、4、71、142。
而這兩個數恰恰等於對方的真因子各自加起來的和（sum[i]表示數i 的各個真因子的和），即
220=1+2+4+71+142=sum[284],
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。
如此，是否已看出絲毫端倪?
如上所示，考慮到1是每個整數的因子，把出去整數本身之外的所有因子叫做這個數的“真因子”。如果兩個整數，其中每一個真因子的和都恰好等於另一個數，那麼這兩個數，就構成一對“親和數”（有關親和數的更多討論，可參考這：http://t.cn/hesH09）。
求解：
瞭解了什麼是親和數，接下來咱們一步一步來解決上面提出的問題（以下內容大部引自水的原話，同時水哥有一句原話，“在你真正弄弄懂這個範例之前，你不配說你懂資料結構和演算法”）。
- 看到這個問題後，第一想法是什麼？模擬搜尋+剪枝？回溯？時間複雜度有多大？其中bn為an的偽親和數，即bn是an的真因數之和大約是多少？至少是10^13（@iicup：N^1.5 對於5*10^6 , 次數大致 10^10 而不是 10^13.）的數量級的。那麼對於每秒千萬次運算的計算機來說，大概在1000多天也就是3年內就可以搞定了（iicup的計算: 10^13 / 10^7 =1000000(秒) 大約 278 小時. ）。如果是基於這個基數在優化，你無法在一天內得到結果的。
- 一個不錯的演算法應該在半小時之內搞定這個問題，當然這樣的演算法有很多。節約時間的做法是可以生成伴隨陣列，也就是空間換時間，但是那樣，空間代價太大，因為資料規模龐大。
- 在稍後的演算法中，依然使用的伴隨陣列，只不過，因為題目的特殊性，只是它方便和巧妙地利用了下標作為伴隨陣列，來節約時間。同時，將回溯的思想換成遞推的思想（預處理陣列的時間複雜度為logN（調和級數）*N，掃描陣列的時間複雜度為線性O（N）。所以，總的時間複雜度為O（N*logN+N）（其中logN為調和級數） ）。
第二節、伴隨陣列線性遍歷
依據上文中的第3點思路，編寫如下程式碼：
{
for (i =0; i <=5000000; i++)
sum[i] =1; //1是所有數的真因數所以全部置1 for (i =2; i + i <=5000000; i++) {
//5000000以下最大的真因數是不超過它的一半的 j = i + i; //因為真因數，所以不能算本身，所以從它的2倍開始 while (j <=5000000)
{
//將所有i的倍數的位置上加i sum[j] += i;
j += i;
}
}
for (i =220; i <=5000000; i++) //掃描，O（N）。 {
// 一次遍歷，因為知道最小是220和284因此從220開始 if (sum[i] > i && sum[i] <=5000000&& sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，滿足親和 printf("%d %d/n",i,sum[i]);
}
}
return0;
}
第三節、程式的構造與解釋
我再來具體解釋下上述程式的原理，ok，舉個例子，假設是求10以內的親和數，求解步驟如下：
因為所有數的真因數都包含1，所以，先在各個數的下方全部置1
- 然後取i=2,3,4,5（i<=10/2），j依次對應的位置為j=（4、6、8、10），（6、9）,（8）,（10）各數所對應的位置。
- 依據j所找到的位置，在j所指的各個數的下面加上各個真因子i（i=2、3、4、5）。
整個過程，即如下圖所示（如sum[6]=1+2+3=6，sum[10]=1+2+5=8.）：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3
4
5 - 然後一次遍歷i從220開始到5000000，i每遍歷一個數後，
將i對應的數下面的各個真因子加起來得到一個和sum[i]，如果這個和sum[i]==某個i’，且sum[i‘]=i，
那麼這兩個數i和i’，即為一對親和數。 - i=2；sum[4]+=2，sum[6]+=2，sum[8]+=2，sum[10]+=2，sum[12]+=2...
i=3，sum[6]+=3，sum[9]+=3...
...... - i=220時，sum[220]=284，i=284時，sum[284]=220；即sum[220]=sum[sum[284]]=284，
得出220與284是一對親和數。所以，最終輸出220、284，...