高等數學第一章學習筆記

阿新 • • 發佈：2018-12-27

第一章

第一節對映與函式

一、對映概念

1.對映概念: 對映定義
設 $X, Y$ 是兩個非空集合，如果存在一個法則 $f$ ,使得對 $X$ 中的每個元素 $x$ 按法則 $f$ ,在 $Y$ 中有唯一確定的元素 $y$ 與之對應，那麼稱 $f$ 為從 $X$ 到 $Y$ 的對映，記作：
$f : X \to Y$ 其中， $y$ 稱為元素 $x$ （在對映 $f$ 下）的像，並記作 $f (x)$ ，即 $y = f (x)$ 而元素 $x$ 稱為元素 $y$ （在對映 $f$ 下）的一個原像；集合 $X$ 稱為對映 $f$ 的定義域，記作 $D_{f}$ ，即 $D_{f} = X$ ； $X$ 中的所有元素的像所組成的集合稱為對映 $f$ 的值域，記作 $R_{f}$ 或 $f (x)$ ，即 $R_{f} = f (x) = {f (x) ∣ x \in D}$ .; 同時需要記住的一些內容
1. 構成對映必須具備的三個要素：集合 $X$ ,集合 $Y$ ,對應的法則 $f$ 。同時，使對每個 $x \in X$ 有唯一確定的 $y = f (x)$ 與之對應。
2. 像 $y$ 是唯一的，原像 $x$ 不一定是唯一的。 $R_{f}$ 是 $Y$ 的一個子集即 $R_{f} \subset Y$ ,不一定 $R_{f} = Y$ .
3. 滿射，單射，一一對映（雙射）。
4. 對映又稱為運算元，根據不同的 $X$ ， $Y$ 集合情形下，在不同的數學分支中，對映有不同的名稱。（泛函（非空集到數集），變換（非空集到它自身），函式（實數集到實數集）等）。
2.逆對映與複合對映: 逆對映定義

既然存在 $f (x) = y$ 的對映，於是，我們可以定義一個從 $R_{f}$ 到 $X$ 的一個新對映 $g$ ，即 $g : R_{f} \to X$ 對每個 $y \in R_{f}$ ,規定 $g (y) = x$ ,而且這個 $x$ 滿足 $f (x) = y$ 。這個新對映 $g$ 稱為對映 $f$ 的逆對映。記作 $f^{- 1}$ 。其定義域 $D_{f^{- 1}} = R_{f}$