什麼是莫比烏斯反演

關於莫比烏斯反演

莫比烏斯反演，又稱懵逼鎢絲繁衍，是一種看了就一臉懵逼的東西。
好吧好吧，嚴肅點。（不過因為本蒟蒻真的很懵逼，所以錯誤之處請大神指出）
莫比烏斯反演就是下面這個式子：
如果存在函式F(x)和f(x),滿足

F(n)=∑d|nf(d)$$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$
那麼就有：
f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)$$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$$
或者如果F(x)和f(x)滿足：
F(n)=∑n|df(d)$$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$
那麼：
f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$
其中μ()$\mu ()$函式是莫比烏斯函式，定義是：
如果

d=1$d=1$ ， μ(d)=1$\mu (d)=1$
如果d$d$為互異質數p1$p_1$,p2$p_2$…pk$p_k$的乘積，則μ(d)=(−1)k$\mu (d)=(-1{)}^k$
否則，μ(d)=0$\mu (d)=0$
所以線性篩莫比烏斯函式往後看，幾乎每段程式碼裡都有。

兩條性質

好了，現在補充兩條（我不會證，不過腦補一下就好了吧的）性質：
1.如果n>1$n>1$且n$n$為正整數，則有：

∑d|nμ(d)=0$$\sum _{d|n}\mu (d)=0$$
如果n=1$n=1$則上式為1.
2.對於任意正整數n$n$均有：
∑d|nμ(d)d=ϕ(n)n$$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\varphi (n)}{n}$$
（其實證明應該和莫比烏斯函式的構造方法有關。有的時候，不要什麼東西都想著要明白是怎麼證的，畢竟你現在學的東西，是前人經過幾年甚至幾十年才搞出來的，有的真的沒辦法一朝一夕就會證明。我才不是為我不會證開脫)

證明莫比烏斯反演

有了上面兩條我不會證的性質之後，我們就可以證一下莫比烏斯反演了。
由F(x)函式的定義可以得到：

∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑d′|ndf(d′)$$\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)\sum _{d^{\prime }|\frac{n}{d}}f(d^{\prime })$$
接下來我們讓nd=kd′$\frac{n}{d}=k{d}^{\prime }$，那麼d=nkd′$d=\frac{n}{k{d}^{\prime }}$,所以就有d|nd′$d|\frac{n}{d^{\prime }}$，而每個f(d′)$f(d^{\prime })$一定會和一個μ(d)$\mu (d)$乘一次，所以：