模擬頻率與數字頻率

        在數字訊號處理的學習中，很多剛入門朋友常常為模擬頻率、數字頻率及其相互之間的關係所迷惑，甚至是一些已經對數字訊號處理有所瞭解的朋友也為這個問題所困惑。

        我們通常所說的頻率，在沒有特別指明的情況下，指的是模擬頻率，其單位為赫茲(Hz)，或者為1/秒(1/s)，數學符號用f來表示。這是因為現實世界中的訊號大多為模擬訊號，頻率是其重要的物理特性。以赫茲表示的模擬頻率表示的是每秒時間內訊號變化的週期數。如果用單位圓表示的話，如圖1所示，旋轉一圈表示訊號變化一個週期，則模擬頻率則指的是每秒時間內訊號旋轉的圈數。

                                    圖1  數字頻率與模擬頻率

        模擬頻率中還有一個概念是模擬角頻率，數學符號常用Ω來表示，其單位為弧度/秒(rad/s)。從單位圓的角度看，模擬頻率是每秒時間內訊號旋轉的圈數，每一圈的角度變化數為2pi。很顯然，旋轉f圈對應著2pi*f的弧度。即：

                                              Ω=2pi*f(rad/s)      (1)

         數字訊號大多是從模擬訊號取樣而得，取樣頻率通常用fs表示。數字頻率更準確的叫法應該是歸一化數字角頻率，其單位為弧度(rad)，數學符號常用ω表示。即：

                                             ω=2pi*f/fs(rad)     (2)

其物理意義是相鄰兩個取樣點之間所變化的弧度數，如圖1所示。

        有了公式(1)和(2)，我們就可以在模擬頻率與數字頻率之間隨意切換。假定有一個正弦訊號x[n]，其頻率f=100Hz，幅度為A，初始相位為0，則這個訊號用公式可以表示為：

                                           x(t) =A*sin(2*pi*100*t)

用取樣頻率fs=500Hz對其進行取樣，得到的數字訊號x[n]為：

                                          x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)

很明顯，這個數字訊號的頻率為0.4pi。

        由上述討論可知，對應兩個數字頻率完全相同的訊號，其模擬頻率未必相同，因為這裡還要考慮取樣頻率。這種歸一化為處理帶來了方便，帶也給理解帶來了困惑。在數字訊號中，雖然經常不顯式地出現取樣頻率，但它卻是架起模擬訊號與數字訊號的橋樑，對訊號處理的過程有舉足輕重的影響。