題意

給定一棵 \(n\) 個節點的樹，每個節點有點權。完成 \(q\) 個操作——操作分兩種：修改點 \(x\) 的點權、查詢與 \(x\) 距離小於等於 \(d\) 的權值總和。

\(1 \leq n,q \leq 10^5\)

思路

從最簡單的情況分析——只有一次查詢。當然一遍 \(O(n)\) 的 \(\text{dfs}\) 可以直接寫，不過要用點分治寫的話，\(\text{solve}\) 函式直接容斥一下就可以了。

如果多個詢問呢？其實在回答關於點 \(x\) 的詢問時，其實只需要計算管轄 \(x\) 的所有重心的答案。我們只需要將點分治的過程記錄下來，查詢只查管轄 \(x\)

具體的實現每道題略有區別，但具體思路大致相同。別忘了我們是從一次查詢作優化，那麼我們對於一個點，記錄它到重心的距離；對於每個重心開一個數組，表示管轄範圍內距離為 \(d\) 的節點權值總和，然後字首和一下就變成了距離小於等於 \(d\) 的權值總和，由於還有容斥的部分，故符號也要記錄。若節點 \(x\) 詢問為 \(d\) ，對於某一級重心 \(C\) ，距離為 \(dis\) ，對應字首和陣列 \(A\) ，對應符號為 \(s\ (s\in\{1,-1\})\) ，那麼 \(x\) 與 \(C\) 的貢獻就是 \(s\cdot A[d-dis]\)

而帶上修改其實也沒什麼區別，只要把字首和換成樹狀陣列，然後每次修改，對於某一級重心 \(C\) ，在樹狀陣列的 \(dis\) 位置做修改即可。

動態點分治就是把點分治的過程用適當容器去維護的演算法。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
    int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],tot;
    Linked_list(){clear();}
    void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
    void add(int u,int v){to[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
    #define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
struct FenwickTree
{
    #define lowbit(x) ((x)&-(x))
    vector<int>c;int n;
    void build(int _n){c.clear();FOR(i,0,n=_n+1)c.push_back(0);}
    void update(int k,int val){for(k++;k<=n;k+=lowbit(k))c[k]+=val;}
    int query(int k){int res=0;for(k=min(k+1,n);k>0;k^=lowbit(k))res+=c[k];return res;}
    #undef lowbit
};
Linked_list<N,N<<1>G;
FenwickTree FT[N*2];int Fc;
int Fid[N][45],dis[N][45],lv[N];bool sgn[N][45];
int sz[N];bool mark[N];
int pw[N],n,q;

void CFS(int u,int f,int tot,int &C,int &Mi)
{
    sz[u]=1;int res=0;
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f||mark[v])continue;
        CFS(v,u,tot,C,Mi);
        sz[u]+=sz[v];
        res=max(res,sz[v]);
    }
    res=max(res,tot-sz[u]);
    if(res<Mi)C=u,Mi=res;
}
void dfs_init(int u,int f,int D,bool s)
{
    Fid[u][++lv[u]]=Fc,dis[u][lv[u]]=D,sgn[u][lv[u]]=s;
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f||mark[v])continue;
        dfs_init(v,u,D+1,s);
    }
}
int dfs_dep(int u,int f,int d)
{
    int res=d;
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(v==f||mark[v])continue;
        res=max(res,dfs_dep(v,u,d+1));
    }
    return res;
}
void dac(int u,int tot)
{
    int Mi=1e9;
    CFS(u,0,tot,u,Mi);
    mark[u]=1;
    FT[++Fc].build(dfs_dep(u,0,0));
    dfs_init(u,0,0,1);
    EOR(i,G,u)
    {
        int v=G.to[i];
        if(mark[v])continue;
        FT[++Fc].build(dfs_dep(v,u,1));
        dfs_init(v,u,1,0);
        dac(v,sz[u]>sz[v]?sz[v]:tot-sz[u]);
    }
}

void update(int u,int val)
{
    FOR(i,1,lv[u])
    {
        int v=Fid[u][i],w=dis[u][i];
        FT[v].update(w,val);
    }
}
int query(int u,int d)
{
    int res=0;
    FOR(i,1,lv[u])
    {
        int v=Fid[u][i],w=dis[u][i];bool s=sgn[u][i];
        if(s)res+=FT[v].query(d-w);
        else res-=FT[v].query(d-w);
    }
    return res;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&q))
    {
        G.clear();
        FOR(i,1,n)scanf("%d",&pw[i]);
        FOR(i,1,n-1)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G.add(u,v),G.add(v,u);
        }
        Fc=0;
        memset(lv,0,sizeof(lv));
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        dac(1,n);
        FOR(i,1,n)update(i,pw[i]);
        while(q--)
        {
            char str[5];int x,y;
            scanf("%s%d%d",str,&x,&y);
            if(str[0]=='!')
            {
                update(x,y-pw[x]);
                pw[x]=y;
            }
            else if(str[0]=='?')printf("%d\n",query(x,y));
        }
    }
    return 0;
}