&1向量的內積,長度,及正交性

$x=(\begin{array}{c}{x}_1\end{array}$

1. 非負性 當x≠0時,||x||>0時,||x||>0,當x=0時,||x||=0
2. 齊次性 ||λx||=|λ| ||x||
   定義:當x≠0&&≠0時,θ=arccos $\frac{[x,y]}{\|x\|\|y\|}$
   定理1:諾n維向量是a₁…a_r是一組兩兩正交的非零向量,則a₁…a_r線性無關
   標準正交基:設n維向量e1…er是向量空間V的一個基,如果e1…er兩兩相交,且都是單位向量,則e1…er是V的一個標準基
   設a1…ar是向量空間v的一個基,要求V的一個標準基,也就是找一組兩兩相交的單位向量,e1…er使得e1…er與a1…ar等價,這個問題稱之為及a1…ar的標準正交化.
   可以用下面的方法正交化
   $b_=a_1\\ b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1}b_1-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_r,b_r]}\\ e_r=\frac {b1}{\|br\|}$
   上述從無關向量組a₁…a_r到處正向向量組b₁,b₂的過程稱為施密特正交化,(對任何b₁…b_k,[1≤k≤r]),向量組皆等價
   正角陣:A^TA=E(即A^-1=A^T),則稱A為正交矩陣
   方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的列向量都是單位矩陣,且兩兩正交
   A為正交矩陣,A^-1=A^T也是正交矩陣,且|A|=-1或(-1)
   A和B都是正交矩陣,則AB也是正交矩陣
   定義5:諾P為正交矩陣,則線性變換y=Px稱之為正交變換

&2方陣的特徵值與特正向量

定義6:設A是n皆方陣,如果數λ魚n維非零向量x讓關係式滿足:Ax=λx,則稱數λ是矩陣A的特徵值,非零向量x稱為A對應與特徵值λ的特徵向量
也可以寫成(A-λE)x=0即矩陣A的特徵方程,記作λ,f(λ)稱之為矩陣A的特徵多項式,A是特徵多項式的解
λ²是A²的特徵值
當A可逆時, $\frac{1}{\lambda}是A^{-1}$的特徵值
A^*=|A|A^-1,|A|=λ₁…λ_n
定理2設λ₁…λ_n是方陣A的m個特徵值,p₁ …p_n是與之對應的特徵向量,如果λ₁…λ_n各不相等,則p₁ …p_n線性無關