&1矩陣的初等變化

重點中的重點,一定要熟練掌握矩陣的初等變化,後面的許多性質都是基於此來講解的,起著承前啟後的作用
矩陣初等變化的三種形式

  1. 對換兩行(列)(i , j行為例,記作 r i r j r_i \leftrightarrow r_j )
  2. 以數k≠0乘以某一行(列)的所有元(例如ri*k)
  3. 把某一行(列)的所有元的k倍加到另一行的對應的元上( r i + r j × k r_i+r_j\times k )
    矩陣之間的等價關係具有
  4. 反身性: A~A
  5. 對稱性:諾A~B,則B~A
  6. 傳遞性:諾A~B,B~C,則A~C
  • 行階梯矩陣(一定要熟練掌握)
    可以畫出一條從第一行的某元左方的豎線開始,到最後一列的某元下發的豎線結束的階梯線,他的左下方的元全為零,每段豎線的高度為一行,豎線的右方的第一個元為非零元,稱之為首非零元,具有這樣特點的矩陣稱之為行階梯形矩陣
  • 行最簡行矩陣:非零行的首元為1,並且所在的列全為零
    定理1 A r B A \sim^{r} B 的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P,使PA=B定理1 定理2: A c B A \sim^{c} B 的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q,使AQ=B
    A B A \sim B 的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q,使P
    AQ=B
    性質1:這A是一個m✖️n的矩陣,對A進行一次初等行變化就是在A的左邊乘一個m階的初等矩陣,對A實行一次列變換就是在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣
    性質2:方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1P2P3…Pn,使A=P1P2P3…Pn
    推論:方陣A可逆的充分必要條件是A~r E
    應用
    課本P63~65,例題

感想:線性方程組的第三種解法也在這裡,有點蒙

矩陣的秩

矩陣的秩:如果矩陣A的第i+1行全為零,則第i行為最高階非零姿勢,i稱之為矩陣的秩,表示為R(A)
矩陣秩的基本性質
0 R ( A m × n ) m i n m , n R ( A T ) = R ( A ) A B , R ( A ) = R ( B ) P , Q , R ( P A Q ) = R ( A ) m a x R ( A ) , R ( B ) R ( A , B ) R ( A ) + R ( B ) R ( A + B ) R ( A ) + R ( B ) R ( A B ) m i n R ( A ) , R ( B ) A m × n B n × i = O , R ( A ) + R ( B ) n 0\leqslant R(A_{m \times n}) \leqslant min|m,n|\\ R(A^T)=R(A)\\ 諾A \sim B,則 R(A)=R(B)\\ 諾P,Q可逆,則R(PAQ)=R(A)\\ max|R(A),R(B)| \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(A+B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(AB) \leqslant min|R(A),R(B)|\\ 諾A_{m\times n}B_{n\times i}=O,則 R(A)+R(B)\leqslant n

&3 線性方程組的解

定理1:判斷n元線性方程Ax=b

  1. R(A)<R(A , b)⇔無解
  2. R(A)=R(A , b)=n⇔唯一解
    3.R(A)=R(A , b)<n⇔多解
    定理2:n元其次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是,R(A)<n
    定理3線性方程組Ax=b的充分必要條件是R(A)=R(A,b)
    定理4:矩陣方程AX=B的充分必要條件是R(A)=R(A,B)
    定理5:AB=C,則R©<=min|R(A),R(B)|m2]