&1矩陣的初等變化

重點中的重點,一定要熟練掌握矩陣的初等變化,後面的許多性質都是基於此來講解的,起著承前啟後的作用
矩陣初等變化的三種形式

1. 對換兩行(列)(i , j行為例,記作 $r_i\leftrightarrow r_j$
   r_i \leftrightarrow r_j )
2. 以數k≠0乘以某一行(列)的所有元(例如r_i*k)
3. 把某一行(列)的所有元的k倍加到另一行的對應的元上( $r_i+r_{}$
   j × k r_i+r_j\times k )
   矩陣之間的等價關係具有
4. 反身性: A~A
5. 對稱性:諾A~B,則B~A
6. 傳遞性:諾A~B,B~C,則A~C

• 行階梯矩陣(一定要熟練掌握)
  可以畫出一條從第一行的某元左方的豎線開始,到最後一列的某元下發的豎線結束的階梯線
  ,他的左下方的元全為零,每段豎線的高度為一行,豎線的右方的第一個元為非零元,稱之為首非零元,具有這樣特點的矩陣稱之為行階梯形矩陣
• 行最簡行矩陣:非零行的首元為1,並且所在的列全為零
  定理1 $A \sim^{r} B$的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P,使PA=B定理1 定理2: $A \sim^{c} B$的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q,使AQ=B
  $A \sim B$的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P,n階可逆矩陣Q,使P
  AQ=B
  性質1:這A是一個m✖️n的矩陣,對A進行一次初等行變化就是在A的左邊乘一個m階的初等矩陣,對A實行一次列變換就是在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣
  性質2:方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P₁P₂P₃…P_n,使A=P₁P₂P₃…P_n
  推論:方陣A可逆的充分必要條件是A~^r E
  應用
  課本P63~65,例題

感想:線性方程組的第三種解法也在這裡,有點蒙

矩陣的秩

矩陣的秩:如果矩陣A的第i+1行全為零,則第i行為最高階非零姿勢,i稱之為矩陣的秩,表示為R(A)
矩陣秩的基本性質
$0\leqslant R(A_{m \times n}) \leqslant min|m,n|\\ R(A^T)=R(A)\\ 諾A \sim B,則 R(A)=R(B)\\ 諾P,Q可逆,則R(PAQ)=R(A)\\ max|R(A),R(B)| \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(A+B) \leqslant R(A)+R(B)\\ R(AB) \leqslant min|R(A),R(B)|\\ 諾A_{m\times n}B_{n\times i}=O,則 R(A)+R(B)\leqslant n$

&3 線性方程組的解

定理1:判斷n元線性方程Ax=b

1. R(A)<R(A , b)⇔無解
2. R(A)=R(A , b)=n⇔唯一解
   3.R(A)=R(A , b)<n⇔多解
   定理2:n元其次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是,R(A)<n
   定理3線性方程組Ax=b的充分必要條件是R(A)=R(A,b)
   定理4:矩陣方程AX=B的充分必要條件是R(A)=R(A,B)
   定理5:AB=C,則R©<=min|R(A),R(B)|m2]