Dijkstra演算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪傑斯特拉)演算法是典型的單源最短路徑演算法,用於計算一個節點（節點需為源點)到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。Dijkstra演算法是很有代表性的最短路徑演算法，注意該演算法要求圖中不存在負權邊。

 例項:假設有A,B,C,D四個城市,(這裡討論的是有向網) 它們的距離為:  A->B(10),A->C(11),B->D(12),C->D(13);

所謂単源路徑就是解決從源點 A開始找出到其他城市的最短距離(除本身外的其他所有城市)。Dijkstra演算法可以求出A->B(10),A->C(11),A->D(22);

拓展2：多源最短路徑(常用Floyd演算法)是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，(不侷限於從源點出發,到其他各個頂點 ）可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd演算法的時間複雜度為O(N³)，空間複雜度為O(N²)。

程式碼

/*
  @ Dijkstra演算法(単源最短路徑)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define MAXV 100
#define LIMITLESS 9999    //定義為無窮大,預設為節點間不存在聯絡
using namespace std;
typedef struct
{
   char info; //頂點其他資訊
}VertexType;

typedef struct MGraph
{
    int v;     //頂點數
    int e;    //邊數
    int edges[MAXV][MAXV];//鄰接矩陣的陣列表現
    VertexType vexs[MAXV]; //頂點資訊
}MGraph;

void creat(MGraph *G)
{
    int i, j, k, w;
    int start, end;
    printf("請輸入頂點數和邊數:\n");
    scanf("%d%d", &(G->v), &(G->e));
    getchar();
    printf("請輸入頂點資訊:\n");
    for (i = 0; i<G->v; i++)
    {
        scanf("%c", &(G->vexs[i].info));
    }
    for (i = 0; i<G->v; i++)
    {
        for (j = 0; j<G->v; j++)
        {
            G->edges[i][j] = LIMITLESS;
        }
    }
    printf("輸入圖的頂點邊的下標值和它的權值:\n");
    for (k = 0; k<G->e; k++)
    {
        scanf("%d%d%d", &start, &end, &w);
        G->edges[start][end] = w;
    }
}

void print(MGraph *G)
{
    int i, j;
    printf("頂點數:%d,邊數:%d\n", G->v, G->e);
    printf("%d個頂點的資訊：\n", G->v);
    for (i = 0; i<G->v; i++)
    {
        printf("%5c",G->vexs[i].info);
    }
    printf("\n各個頂點的連線情況:\n");
    printf("\t");
    for (i = 0; i<G->v; i++)
    {
        printf("[%d]\t", i);
    }
    printf("\n");
    for (i = 0; i<G->v; i++)
    {
        printf("[%d]\t", i);
        for (j = 0; j<G->v; j++)
        {
            if (G->edges[i][j] == LIMITLESS)
            {
                printf("oo\t");
            }
            else
            {
                printf("%d\t", G->edges[i][j]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

void Ppath(MGraph *g,int path[], int i, int v) //前向遞迴查詢路徑上的頂點,但不包含起點與終點的路徑值
{
    int k;
    k = path[i];
    if (k == v)   //無中間節點,退出
    {
        return;
    }
    Ppath(g,path, k, v);
    printf("%c",g->vexs[k]);
}

void Dispath(MGraph *g,int dist[], int path[], int s[], int n, int v)
{
    int i;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        if (s[i] == 1)
        {
            printf("從%c到%c的最短路徑長度為:%d\t路徑為:", g->vexs[v], g->vexs[i], dist[i]);
            printf("%c",g->vexs[v]);     //輸出路徑上的起點
            Ppath(g,path, i, v);  //輸出路徑上的中間點
            printf("%c\n",g->vexs[i]); //輸出路徑上的終點
        }
        else
        {
            printf("從%c到%c不存在路徑\n", g->vexs[v], g->vexs[i]);
        }
    }
}

void Dijkstra(MGraph *g, int v)
{
    int mindis, i, j, u;
    int s[MAXV];     //表示這個頂點是否存入最短路線中(0表示未加入,1表示已加入)
    int dist[MAXV]; //表示起始點到此頂點的距離
    int path[MAXV];//表示此點的上一步是哪一個頂點
    for (i = 0; i < g->v; i++)
    {
        s[i] = 0;
        dist[i] = g->edges[v][i];
        if (g->edges[v][i] < LIMITLESS)
        {
            path[i] = v;
        }
        else
        {
            path[i] = -1;
        }
    }
    s[v] = 1;
    path[v] = 0;
    for (i = 0; i < g->v; i++)
    {
        mindis = LIMITLESS;         //mindis置最小長度初值
        for (j = 0; j < g->v; j++) //選取不在s中且具有最小距離的頂點u
        {
            if (s[j] == 0 && dist[j] <mindis)
            {
                mindis = dist[j];
                u = j;
            }
        }
        s[u] = 1;
        for (j = 0; j < g->v; j++)
        {
            if (s[j] == 0)
            {
                if (g->edges[u][j] < LIMITLESS&&dist[u] + g->edges[u][j] < dist[j])
                {
                    dist[j] = dist[u] + g->edges[u][j];
                    path[j] = u;
                }
            }
        }
    }
    Dispath(g ,dist, path, s, g->v, v);
}

int main(void)
{
    MGraph *g;
    g = (MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));
    creat(g);
    print(g);
    Dijkstra(g,0);
    return 0;
}