推薦系統學習筆記之三 LFM (Latent Factor Model) 隱因子模型 + SVD (singular value decomposition) 奇異值分解

Low Rank Matrix Factorization低階矩陣分解

在上一篇筆記之二裡面說到我們有五部電影，以及四位使用者，每個使用者對電影的評分如下，？表示未評分。

Movies\User	User 1	User 2	User 3	User 4
Movie 1	5	5	0	0
Movie 2	5	？	？	0
Movie 3	？	4	0	？
Movie 4	0	0	5	4
Movie 5	0	0	5	？

那麼我們可以把第一個表格裡的內容轉化成一個矩陣R：

R = [\begin{matrix} 5 & 5 & 0 & 0 \\ 5 & ? & ? & 0 \\ ? & 4 & 0 & ? \\ 0 & 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{matrix}]

把引數θ和特徵變數x也都表示成向量的形式：

X = [\begin{matrix} - - - (x^{(1)})^{T} - - - \\ - - - (x^{(2)})^{T} - - - \\ . . . \\ - - - (x^{(n_{m})})^{T} - - - \end{matrix}]

Θ = [\begin{matrix} - - - (θ^{(1)})^{T} - - - \\ - - - (θ^{(2)})^{T} - - - \\ . . . \\ - - - (θ^{(n_{u})})^{T} - - - \end{matrix}]

那麼我們有：

R = Θ^{T} X

，這種方法被稱為：低秩矩陣分解（Low Rank Matrix Factorization）。

相關應用：

找電影i相似的電影j：可以計算 $‖ x^{(i)} - x^{(j)} ‖$ 兩個特徵向量的距離，其中距離最小的就是最相似的電影。

LFM (Latent Factor Model) 隱因子模型

接下來引申到LFM (Latent Factor Model) 隱因子模型，其中隱因子可以理解為一個使用者喜歡一個電影的隱形原因，比如電影裡面有他喜歡的romantic和action元素，還有他喜歡的某個演員或者導演編劇。如果另外一個電影有類似的元素跟演員，那麼他很有可能會也喜歡這部電影。LFM的核心思路就是求出使用者的θ向量和電影的x向量。
在評分矩陣 $R_{m, n}$

,n中，LFM中認為評分矩陣可以表示為

R_{m, n} = P_{m, F} \cdot Q_{F, n}

即兩個矩陣的乘積，其中F為隱因子的個數。我們設

{\hat{r}}_{u i}

為使用者u對物品i的評分。

{\hat{r}}_{u i} = \sum_{f = 1}^{F} P_{u f} Q_{f i}

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Low Rank Matrix Factorization低階矩陣分解

LFM (Latent Factor Model) 隱因子模型

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