MIT線性代數公開課筆記（Lec9：線性相關性、基、維數）
阿新 • • 發佈：2018-12-30
“向量組”：線性相關性、生成空間、作為“基”。
“維數”：一個具體的數值。
對於矩陣A，AX = 0，且矩陣A的行數m小於列數n（即未知數n大於方程數m）
有推論：方程AX= 0有非零解。reason：對於A做消元得到階梯矩陣As，As必包含有不少於一個的自由變數。
一、向量組線性相關性：
- 對於向量x1,x2,x3,...,xn，如果存在c1x1+c2x2+c3x3+...+cnxn = 0，且c1,c2,c3,...cn不全為0，則向量x1,x2,x3,..xn線性相關，反之則不相關。（特例：如果向量組中存在有零向量，那麼這個向量組必定線性相關）
- 對於矩陣A中的列向量v1,v2,v3,...,vn，如果它們是無關的，A的零空間中只有零向量，此時A的秩=n，不存在自由變數；反之，對於AC = 0，零空間中存在非零向量c，A的秩<n，存在自由變數。
二、向量組“生成”空間：
- 對於向量v1,...,vl生成一個空間指：這個空間包含v1,..,vl的所有線性組合。
三、基的概念
- 向量空間的一組“基”指一系列的向量v1,..,vd有兩大性質：(1).v1,...,vd線性無關；(2).v1,...vd生成一個空間
eg:
對於三維空間，有一組基
另一組基
對於給定空間空間中任意基都滿足
(1).基的向量的個數相等（例：三維空間中基的向量的個數均為三），向量的個數也稱為維數。
四、維數
- 空間中的維數：表示基的向量的個數
- 零空間的維數為n-r(矩陣A的列減去矩陣的秩，即其自由變數的個數)
- 矩陣A的秩的值是其空間、子空間、列空間的維數