遺忘是可怕的東西……好記性不如爛筆頭講真……

命題

現在假設我不知道什麼是莫比烏斯函式，只知道

F(x)=∑d∣xf(d)若已知F(x)，求f(x)的表示式。

性質

從已知的關係，可以得到性質：
1. 若y|x(y<x)，則F(y)包含的所有f(d)都被F(x)包含了，F(y)不能包含f(x)
2. 包含f(x)的最小項是F(x)

構造

記x的第i小的約數是yi(yi<x)，共有k個約數，則

f(x)=F(x)−∑1≤i≤kf(yi)由於左邊的f(x)是一次的，所以右邊是F(yi)的線性組合，設ai作為F(yi)的係數，即f(x)=F(x)+∑1≤i≤kai

F(yi)=F(x)+∑1≤i≤kbif(yi)可知所有的bi=−1.現在即要求解ai.

從yk，即x的最大真約數開始解，只有F(yk)包含了f(yk)，可得ak=−1。同時對所有f(yk的約數)前的係數都貢獻-1。
再看yk−1，如果f(yk−1)前的係數已經被貢獻了-1，則ak=0，看下一個約數；否則要令當前的貢獻值+ak−1=−1，由此確定ak−1

舉例

舉個例子：x=180,{yi}={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90}
先確定90的係數a17為-1，前面是90的約數的係數添上-1；
再看60的列和為0，故a16為-1，前面是6的約數的係數添上-1；
再看45的列和為-1，故a

15為0；
……
直到所有係數都確定如下表：使得每列之和都為-1，即f(yi)前的係數都為-1

yi	1	2	3	4	5	6	9	10	12	15	18	20	30	36	45	60	90
a17	-1	-1	-1	0	-1	-1	-1	-1	0	-1	-1	0	-1	0	-1	0	-1
a16	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	-1	-1	-1	0	-1	-1	0	0	-1	0
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