單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其它任一頂點的最短路徑。

 Dijkstra演算法

假設存在G=<V,E>，源頂點為0，U={0+已確定的最短路徑頂點},dist[i]記錄頂點0到頂點i的最短距離(包括確定的和估算的)，path[i]記錄從0到i路徑上的i前面的一個頂點。

U中收錄的是已確定的最短路徑頂點，比如2被U收錄的話就代表dist[2]的值就是頂點0到頂點2的最短路徑，後面操作不需要再更新它。

步驟如下

初始化：dist[i]=0->i，U={0}，path[0]=-1。(->這裡表示圖中頂點到另一頂點的權重)

迴圈：

1、路徑中不包括負權邊的情況下未收錄頂點中dist值最小的就是真正的最短距離，收錄到U中

2、上一步確定一個頂點V後，此頂點V的鄰接點W的dist值可能受到影響(除去U收錄的頂點外:dist[W]=MIN(dist[W],dist[V]+V->W),path[W]=V;)。

3、重複以上步驟直到U收錄了所有頂點，i屬於任何頂點時此時dist[i]都表示真正的（已確定）最短距離

證明不能解決負權邊

C語言程式碼實現如下

    #include<stdlib.h>  
    #include<stdbool.h>  
    #include<stdio.h>
    #define INFINITY 65535        /* ∞設為雙位元組無符號整數的最大值65535*/    
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大頂點數設為100 */    
    typedef int Vertex;         /* 用頂點下標表示頂點,為整型 */    
    typedef int WeightType;        /* 邊的權值設為整型 */    
    typedef char DataType;        /* 頂點儲存的資料型別設為字元型 */    
        
    bool U[MaxVertexNum]; 
    int dist[MaxVertexNum]; 
    int path[MaxVertexNum];
      
      
    /* 邊的定義 */    
    typedef struct ENode *PtrToENode;    
    struct ENode{    
        Vertex V1, V2;      /* 有向邊<V1, V2> */    
        WeightType Weight;  /* 權重 */    
    };    
    typedef PtrToENode Edge;    
         
    /* 鄰接點的定義 */    
    typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;     
    struct AdjVNode{    
        Vertex AdjV;        /* 鄰接點下標 */    
        WeightType Weight;  /* 邊權重 */    
        PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一個鄰接點的指標 */    
    };    
         
    /* 頂點表頭結點的定義 */    
    typedef struct Vnode{    
        PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 邊表頭指標 */    
        DataType Data;            /* 存頂點的資料 */    
        /* 注意：很多情況下，頂點無資料，此時Data可以不用出現 */    
    } AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是鄰接表型別 */    
         
    /* 圖結點的定義 */    
    typedef struct GNode *PtrToGNode;    
    struct GNode{      
        int Nv;     /* 頂點數 */    
        int Ne;     /* 邊數   */    
        AdjList G;  /* 鄰接表 */    
    };    
    typedef PtrToGNode LGraph; /* 以鄰接表方式儲存的圖型別 */    
      
    LGraph CreateGraph( int VertexNum )    
    { Vertex V;  
    /* 初始化一個有VertexNum個頂點但沒有邊的圖 */    
    LGraph Graph=(LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));  
    Graph->Nv=VertexNum;  
    Graph->Ne=0;  
     /* 初始化鄰接表頭指標 */    
        /* 注意：這裡預設頂點編號從0開始，到(Graph->Nv - 1) */    
           for (V=0; V<Graph->Nv; V++)    
            Graph->G[V].FirstEdge = NULL;    
                     
        return Graph;     
    }   
      
    void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )  {  
      
    PtrToAdjVNode NewNode;    
             
        /* 插入邊 <V1, V2> */    
        /* 為V2建立新的鄰接點 */    
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));    
        NewNode->AdjV = E->V2;    
        NewNode->Weight = E->Weight;    
        /* 將V2插入V1的表頭 */    
        NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;    
        Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;    
                 
        /* 若是無向圖，還要插入邊 <V2, V1> */    
        /* 為V1建立新的鄰接點 */    
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));    
        NewNode->AdjV = E->V1;    
        NewNode->Weight = E->Weight;    
        /* 將V1插入V2的表頭 */    
        NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;    
        Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;    
      
    }  
      
      
        LGraph BuildGraph()    
        {    
            LGraph Graph;    
            Edge E;    
            Vertex V;    
            int Nv, i;    
                 
            scanf("%d", &Nv);   /* 讀入頂點個數 */    
            Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv個頂點但沒有邊的圖 */     
                 
            scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 讀入邊數 */    
            if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有邊 */     
                E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立邊結點 */     
                /* 讀入邊，格式為"起點 終點 權重"，插入鄰接矩陣 */    
                for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {    
                    scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);     
                    /* 注意：如果權重不是整型，Weight的讀入格式要改 */    
                    InsertEdge( Graph, E );    
                }    
              free(E);  
            }     
             
            /* 如果頂點有資料的話，讀入資料 */    
            for (V=0; V<Graph->Nv; V++)     
                scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));    
             
            return Graph;    
        }    

void Dijkstra(LGraph Graph,Vertex V){
//初始化
    for(int i=0;i<Graph->Nv;i++)
    {dist[i]=INFINITY;U[i]=false;}
    PtrToAdjVNode W=Graph->G[V].FirstEdge;
    for(;W;W=W->Next)
        dist[W->AdjV]=W->Weight;
    dist[V]=0;U[V]=true;
    ///////////////
    while(true){
        //
        int Min=INFINITY;
        Vertex j;
        for(int i=0;i<Graph->Nv;i++)
            if(Min>dist[i]&&U[i]==false)
                {Min=dist[i];j=i;}
            printf("%d\n",Min );
        if(Min==INFINITY)
            break;
            U[j]=true;//找到最小的dist收錄
            printf("%d->%d %d->%d[%d]\n",path[j],j,V,j,dist[j]);
        //
        W=Graph->G[j].FirstEdge;
        for(;W;W=W->Next)//對鄰接點dist進行更新操作
            if(dist[W->AdjV]>dist[j]+W->Weight&&U[W->AdjV]==false)
                {dist[W->AdjV]=dist[j]+W->Weight;path[W->AdjV]=j;}

    }    

}
      
          
      
      
        int main(){  
        LGraph Graph=BuildGraph();
        Dijkstra(Graph,0);
        return 0;  
        }  
 

    #include<stdlib.h>  
    #include<stdbool.h>  
    #include<stdio.h>  
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大頂點數設為100 */    
    #define INFINITY 65535        /* ∞設為雙位元組無符號整數的最大值65535*/    
    typedef int Vertex;         /* 用頂點下標表示頂點,為整型 */    
    typedef int WeightType;        /* 邊的權值設為整型 */    
    typedef char DataType;        /* 頂點儲存的資料型別設為字元型 */    
    bool U[MaxVertexNum]; 
    int dist[MaxVertexNum]; 
    int path[MaxVertexNum];   
    /* 邊的定義 */    
    typedef struct ENode *PtrToENode;    
    struct ENode{    
        Vertex V1, V2;      /* 有向邊<V1, V2> */    
        WeightType Weight;  /* 權重 */    
    };    
    typedef PtrToENode Edge;    
                
    /* 圖結點的定義 */    
    typedef struct GNode *PtrToGNode;    
    struct GNode{    
        int Nv;  /* 頂點數 */    
        int Ne;  /* 邊數   */    
        WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 鄰接矩陣 */    
        DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存頂點的資料 */    
        /* 注意：很多情況下，頂點無資料，此時Data[]可以不用出現 */    
    };    
    typedef PtrToGNode MGraph; /* 以鄰接矩陣儲存的圖型別 */    
      
    MGraph CreateGraph( int VertexNum )    
    { /* 初始化一個有VertexNum個頂點但沒有邊的圖 */    
        Vertex V, W;    
        MGraph Graph;    
             
        Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立圖 */    
        Graph->Nv = VertexNum;    
        Graph->Ne = 0;    
        /* 初始化鄰接矩陣 */    
        /* 注意：這裡預設頂點編號從0開始，到(Graph->Nv - 1) */    
        for (V=0; V<Graph->Nv; V++)    
            for (W=0; W<Graph->Nv; W++)   
            if(V==W)   
                Graph->G[V][W]=0;  
            else    
                Graph->G[V][W] = INFINITY;    
                     
        return Graph;     
    }    
      
        void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )  {  
             /* 插入邊 <V1, V2> */    
             Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;        
             /* 若是無向圖，還要插入邊<V2, V1> */    
             Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;    
        }  
         
      
        MGraph BuildGraph()    
        {    
            MGraph Graph;    
            Edge E;    
            Vertex V;    
            int Nv, i;    
                 
            scanf("%d", &Nv);   /* 讀入頂點個數 */    
            Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv個頂點但沒有邊的圖 */     
                 
            scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 讀入邊數 */    
            if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有邊 */     
                E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立邊結點 */     
                /* 讀入邊，格式為"起點 終點 權重"，插入鄰接矩陣 */    
                for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {    
                    scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);     
                    /* 注意：如果權重不是整型，Weight的讀入格式要改 */    
                    InsertEdge( Graph, E );    
                }    
                free(E);  
            }     
             
            /* 如果頂點有資料的話，讀入資料 */    
            for (V=0; V<Graph->Nv; V++)     
                scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));    
             
            return Graph;    
        }    
      
void Dijkstra(MGraph Graph,Vertex V){
//初始化
    for(int i=0;i<Graph->Nv;i++)
    {dist[i]=Graph->G[V][i];U[i]=false;}
    dist[V]=0;U[V]=true;
    ///////////////
    while(true){
        //
        int Min=INFINITY;
        Vertex j;
        for(int i=0;i<Graph->Nv;i++)
            if(Min>dist[i]&&U[i]==false)
                {Min=dist[i];j=i;}
        if(Min==INFINITY)
            break;
            U[j]=true;//找到最小的dist收錄
            printf("%d->%d %d->%d[%d]\n",path[j],j,V,j,dist[j]);
        //
        printf("%d\n",j );
        for(Vertex W=0;W<Graph->Nv;W++)//對鄰接點dist進行更新操作
            if(Graph->G[j][W]!=INFINITY&&dist[W]>dist[j]+Graph->G[j][W]&&U[W]==false)
                {dist[W]=dist[j]+Graph->G[j][W];path[W]=j;}

    }    

}
      
       
      
        int main(){  
        MGraph Graph=BuildGraph();
        Dijkstra(Graph,0);
        return 0;  
        }