平衡二叉樹（Balanced Binary Tree）

平衡二叉樹是由一般的二叉排序樹經過平衡調整得到的，每個結點的左右子樹深度差小於等於1的特殊的二叉排序樹。

已經提到，二叉排序樹的平均查詢長度與它的形態有關，其中平衡二叉樹就是一種最好的形態。

特徵：

1）左右子樹深度差的絕對值小於等於1；

2）左右子樹也是平衡二叉樹。（遞迴）

為了表示左右子樹的深度差，我們給每個結點增加一個屬性——平衡因子（Balance Factor），記錄每個結點左右子樹的深度差，結點值 = 左子樹深度 - 右子樹深度。只要有一個結點的平衡因子的絕對值大於1，這棵二叉排序樹就是不平衡的。

當平衡的二叉排序樹因插入結點而失去平衡時，僅需對最小不平衡子樹進行平衡調整即可，即 以 離插入結點最近的，結點平衡因子等於2或-2的結點 為根結點的 子樹。

插入結點的情況分為四種，相應地，平衡調整的方法也分為四種：

（根結點只表示一個位置，其餘顏色代表具體的結點）

1）在根結點的左子樹根結點的左子樹上插入結點（LL型）：

左子樹根結點的左子樹相當於樹的“外層”，對此情況只需要將根結點左移（不違反二叉排序樹的特徵），即以左子樹根結點作為新的根結點。但是左子樹根結點上可能存在右子樹，如果只是簡單地將根結點左移，可能會出現三叉樹的情況。所以我們將左子樹根結點

2）在根結點的右子樹根結點的右子樹上插入結點（RR型）：

這種情況與LL型的平衡調整對稱。

3）在根結點的左子樹根結點的右子樹上插入結點（LR型）：

左子樹根結點的右子樹相當於樹的“內層”，對此情況需要新增一個操作結點，即根結點的左子樹根結點的右子樹根結點。

由於根結點左移並不能改變左右子樹的深度差，所以我們應該設法將插入結點“擡上去”。

具體操作是將右子樹根結點變成新的根結點。

若右子樹根結點存在左子樹（LRL型），則將其左子樹掛接到左子樹根結點上；若右子樹根結點存在右子樹（LRR型），則將其右子樹掛接到根結點

4）在根結點的右子樹根結點的左子樹上插入結點（RL型）：

這種情況與LL型的平衡調整對稱。

新增一個操作結點——根結點的右子樹根結點的左子樹根結點，並將左子樹根結點變成新的根結點。

若左子樹根結點存在左子樹（RLL型），則將其左子樹掛接到根結點上；若左子樹根結點存在右子樹（RLR型），則將其右子樹掛接到右子樹根結點上。

<平衡調整演算法的思路>

（回顧二叉排序樹演算法）

1）插入演算法：在二叉排序樹上插入新結點；

2）查詢演算法：判斷插入結點的情況；

3）平衡調整演算法：修改相關結點的指標。