第五屆藍橋杯決賽 第二題 出棧次序（catalan數）
出棧次序
X星球特別講究秩序，所有道路都是單行線。一個甲殼蟲車隊，共16輛車，按照編號先後發車，夾在其它車流中，緩緩前行。路邊有個死衚衕，只能容一輛車通過，是臨時的檢查站，如圖【p1.png】所示。
X星球太死板，要求每輛路過的車必須進入檢查站，也可能不檢查就放行，也可能仔細檢查。
如果車輛進入檢查站和離開的次序可以任意交錯。那麼，該車隊再次上路後，可能的次序有多少種？
為了方便起見，假設檢查站可容納任意數量的汽車。
顯然，如果車隊只有1輛車，可能次序1種；2輛車可能次序2種；3輛車可能次序5種。
現在足足有16輛車啊，親！需要你計算出可能次序的數目。
の，圖形看起來就很像棧哦，就聯想到了出棧進棧，一個車進衚衕必須要出衚衕，等同於棧的用法。
改題大意是求進出棧的總的方法數。
catalan數：
百度給出的公式：
h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+.....+h(n-1)*h(0) (n>=2,h(0)=h(1)=1)
通項：C(2n,n)/(n+1) 其實會了這個答案秒秒鐘
還是通過例題來真正認識一下catalan數吧，具體定義去百度
① 括號的匹配方式
有n對括號，即2n個符號，則h(n)=f(2n)
故第0個符號一定是左括號，右括號一定是2i+1個字元（一定是奇數字符，這樣中間的字元方可成功匹配）
則第0個字元與第1個字元匹配的次數是f(0)*f(2n-2)
第0個字元與第3個字元匹配的次數是f(2)*f(2n-4) =>將所有括號分成了兩部分，一部分是兩個符合，另一部分是2n-4個符號
②出棧序列
順序進棧，進棧相當於是左括號，出棧相當於是右括號，n個數字，依次進棧構成了有2n個數字的序列
有 f(2n)=f(0)*f(2n-2)+f(2)*f(2n-4)+...+f(2n-2)*f(0)
其中當n=0時，h(0)=f(2*0)=0;
當n=1時，h(1)=f(2*1)=1;
n=2,h(2)=f(2*2)=2;
n=3,h(3)=f(2*3)=f(0)*f(4)+f(2)*f(2)+f(4)*f(0)=5;
.
則h(16)=C(16*2,16)/17=35357670
③圓連線點
一個圓周長等分n個點，每兩個點之間連線，使得各線之間不相交的情況總共有多少種。
同樣可類比成出棧進棧，取任意一個點為0點，則0點必須與2n+1個點相連，必須成對同時滿足，與括號匹配類同
類似的還有二叉樹。
還有哦，如果你看到有這樣n個序列，發現有1 1 2 5 的規律，你可以試著繼續往下算一算，說不定真成了