小波變換和小波閾值法去噪

阿新 • • 發佈：2018-12-30

小波變換和小波閾值法去噪

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1. 小波變換

小波變換是一種訊號的時間——尺度（時間——頻率）分析方法，它具有多分辨分析的特點，而且在時頻兩域都具有表徵訊號區域性特徵的能力，是一種視窗大小固定不變但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可以改變的時頻區域性化分析方法。即在低頻部分具有較低的時間解析度和較高的頻率解析度，在高頻部分具有較高的時間解析度和較低的頻率解析度，很適合於分析非平穩的訊號和提取訊號的區域性特徵，所以小波變換被譽為分析處理訊號的顯微鏡。

傅立葉是將訊號分解成一系列不同頻率的正餘弦函式的疊加，同樣小波變換是將訊號分解為一系列的小波函式的疊加(或者說不同尺度、時間的小波函式擬合)，而這些小波函式都是一個母小波經過平移和尺度伸縮得來的，如下圖。

小波變換常見的形式有連續小波變換(CWT)、離散小波變換(DWT)等。連續小波變換是在尺度基礎上連續變換的，做訊號的小波分析得到的是幅值，a時間的三維圖，對應的a值所截得的曲線即為該尺度的小波圖形。而離散小波變換常用的是二進小波變換，對尺度和時間進行離散化處理。

CWT連續小波變換

CWT步驟：

首先選擇一個小波基函式，固定一個尺度因子，將它與訊號的初始段進行比較；
通過CWT的計算公式計算小波係數（反映了當前尺度下的小波與所對應的訊號段的相似程度）；
改變平移因子，使小波沿時間軸位移，重複上述兩個步驟完成一次分析；
增加尺度因子，重複上述三個步驟進行第二次分析；
迴圈執行上述四個步驟，直到滿足分析要求為止。

連續小波變換是在尺度基礎上連續變換的，做訊號的小波分析得到的是幅值，a時間的三維圖，對應的a值所截得的曲線即為該尺度的小波圖形。而集散小波變換常用的是二進小波變換。

但是，cwt的結果都相當於DWT中的細節資訊（即所謂DWT中的高頻資訊。雖然越向後頻率越低，有時已不能用“高頻”來形容了，但這時的高頻是相對概念，是相對於同階逼近資訊還是高的），只是其尺度是連續的尺度越大頻率越低，一直低下去。

morlet等小波只能做CWT，有些是因為沒法兒構造尺度函式，有些是根本就沒有逆變換（只有滿足某些條件，CWT才存在逆變換，這與小波基有關），有些是如何離散化也不能構成正交或雙正交基，甚至按照二進位制的離散化不能構成緊支的框架，所以它們通常不能做DWT，也就沒有逆變換、重構一說了。

DWT離散小波變換

離散小波變換DWT對尺度引數按冪級數進行離散化處理，對時間進行均勻離散化取值如二進位制離散化尺度時間為2,4,6,8...2n（要求取樣率滿足尼奎斯特取樣定理），常用於訊號的多分辨分析、訊號分解重構。

多分辨分析也稱為多尺度分析，是建立在函式空間概念上的理論。在不同的尺度和時間下，分別構造了尺度函式向量組合小波函式向量組，也即是尺度函式向量空間V與小波函式向量空間W，在一定層次下，訊號在尺度空間做卷積所得到的是訊號的近似、低頻資訊，訊號在小波空間W做卷積所得到的是訊號的細節、高頻資訊。(注意：尺度與分解層數不是一個概念，尺度與頻率成反比的，分解層數是對頻率的範圍進行一定的劃分)。

在多分辨分析中，如正交小波變換可以等效為一組映象濾波的過程，即訊號通過一個分解高通濾波器和分解低通濾波器，自然的高通濾波器輸出對應的訊號的高頻分量部分，稱為細節分量，低通濾波器輸出對應了訊號的相對較低的頻率分量部分，稱為近似分量。對應的快速演算法稱為Mallat演算法。

小波分解重構過程（其中CA為低頻資訊、近似分量，CD為高頻、細節分量）：

小波閾值去噪

通常情況下，我們在從裝置上採集到的訊號都是具有一定的噪聲的，大多數情況下，可認為這種噪聲為高斯白噪聲。被噪聲汙染的訊號=乾淨的訊號+噪聲。
為什麼要使用閾值：由於訊號在空間上(或者時間域)是有一定連續性的，因此在小波域，有效訊號所產生的小波係數其模值往往較大；而高斯白噪聲在空間上(或者時間域)是沒有連續性的，因此噪聲經過小波變換，在小波閾仍然表現為很強的隨機性，通常仍認為是高斯白噪的。那麼就得到這樣一個結論：在小波域，有效訊號對應的係數很大，而噪聲對應的係數很小。剛剛已經說了，噪聲在小波域對應的係數仍滿足高斯白噪分佈。如果在小波域，噪聲的小波係數對應的方差為sigma，那麼根據高斯分佈的特性，絕大部分(99.99%)噪聲係數都位於[-3*sigma，3*sigma]區間內(切比雪夫不等式， 3sigma準則)。因此，只要將區間[-3*sigma，3*sigma]內的係數置零(這就是常用的硬閾值函式的作用)，就能最大程度抑制噪聲的，同時只是稍微損傷有效訊號。將經過閾值處理後的小波係數重構，就可以得到去噪後的訊號。常用的軟閾值函式，是為了解決硬閾值函式“一刀切”導致的影響(模小於3*sigma的小波係數全部切除，大於3*sigma全部保留，勢必會在小波域產生突變，導致去噪後結果產生區域性的抖動，類似於傅立葉變換中頻域的階躍會在時域產生拖尾)。軟閾值函式將模小於3*sigma的小波係數全部置零，而將模大於3*sigma的做一個比較特殊的處理，大於3*sigma的小波係數統一減去3*sigma，小於-3*sigma的小波係數統一加3*sigma。經過軟閾值函式的作用，小波係數在小波域就比較光滑了，因此用軟閾值去噪得到的圖象看起來很平滑，類似於冬天通過窗戶看外面一樣，像有層霧罩在影象上似的。
比較硬閾值函式去噪和軟閾值函式去噪：硬閾值函式去噪所得到的峰值信噪比(PSNR)較高，但是有區域性抖動的現象；軟閾值函式去噪所得到的PSNR不如硬閾值函式去噪，但是結果看起來很平滑，原因就是軟閾值函式對小波係數進行了較大的 “社會主義改造”，小波係數改變很大。因此各種各樣的閾值函式就出現了，其目的我認為就是要使大的係數保留，小的係數被剔出，而且在小波域係數過渡要平滑。
如何估計小波域噪聲方差sigma的估計，這個很簡單：把訊號做小波變換，在每一個子帶利用robust estimator估計就可以(可能高頻帶和低頻帶的方差不同)。 robust estimator就是將子帶內的小波係數模按大小排列，然後取最中間那個，然後把最中間這個除以0.6745就得到噪聲在某個子帶內的方差sigma。利用這個sigma，然後選種閾值函式，就可以去去噪了，在matlab有實現api可使用。

小波閾值去噪過程

在小波分析中經常用到近似和細節，近似表示訊號的高尺度，即低頻資訊；細節表示訊號的低尺度，即高頻資訊。對含有噪聲的訊號，噪聲分量的主要能量集中在小波解的細節分量中。
在以上過程中，小波基和分解層數的選擇，閾值的選取規則，和閾值函式的設計，都是影響最終去噪效果的關鍵因素。

1、小波基的選擇

可參考 http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42586749 博文，一般選取小波基函式要從支撐長度、消失矩、對稱性、正則性以及相似性等進行綜合考慮。由於小波基函式在處理訊號時各有特點，且沒有任何一種小波基函式可以對所有型別訊號都取得最優的去噪效果。一般來講，db小波系和sym小波系在語音去噪中是經常會被用到的兩族小波基。
2、分解層數的選擇
對於一個要採集的訊號，根據奈奎斯取樣定理，其取樣頻率>= 2*訊號的最大頻率。而其他噪聲頻率如高斯白噪聲的訊號是幅度分佈服從高斯分佈，功率譜密度服從均勻分佈的，並且與有效訊號進行混合疊加的。
在小波分解中，分解層數的選擇也是非常重要的一步。取得越大，則噪聲和訊號表現的不同特性越明顯，越有利於二者的分離。但另一方面，分解層數越大，重構到的訊號失真也會越大，在一定程度上又會影響最終去噪的效果。因此在應用時要格外注意處理好兩者之間的矛盾，選擇一個合適的分解尺度。
通常小波分解的頻段範圍與取樣頻率有關。若N層分解，則各個頻段大小為Fs/2/2^N 。例如：一個原始訊號，經歷的時間長度為2秒，取樣了2000個點，那麼做除法，可得出取樣頻率為1000hz，由取樣定理（做除法）得該訊號的最大頻率為500hz，那麼對該訊號做3層的DWT，一階細節的頻段為250－500hz，一階逼近的頻段為小於250hz，二階細節的頻段為125－250hz，逼近的頻段為小於125hz，三階細節的頻段約為62.5－125hz，逼近的頻段為小於62.5hz。對於更多階的分解也是以此類推的。
3、閾值的選取

在小波域，有效訊號對應的係數很大，而噪聲對應的係數很小。噪聲在小波域對應的係數仍滿足高斯白噪分佈。
閾值選擇規則基於模型 y = f(t) + e，e是高斯白噪聲N(0,1)。因此可以通過小波係數、或者原始訊號來進行評估能夠消除噪聲在小波域的閾值。
目前常見的閾值選擇方法有：固定閾值估計、極值閾值估計、無偏似然估計以及啟發式估計等（N為訊號長度）。