演算法提高快速冪（快速冪演算法詳解）
阿新 • • 發佈：2018-12-31
問題描述
給定A, B, P，求(A^B) mod P。
輸入格式
輸入共一行。
第一行有三個數，N, M, P。 輸出格式 輸出共一行，表示所求。 樣例輸入 2 5 3 樣例輸出 2 資料規模和約定
這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為O（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。 我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式： (a * b) mod n=(a mod n * b mod n) mod n 於是不用思考的進行了改進： 演算法2：
既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。 演算法3：
這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。 快速冪演算法依賴於以下明顯的公式：
1.如果b是偶數，我們可以記k = (a^2) mod n，那麼求(k^(b/2)) mod n就可以了。 2.如果b是奇數，我們也可以記k = (a^2) mod n，那麼求((k^(b/2) )mod c × a ) mod n就可以了。 演算法4：
我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod n時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為k^(b/2) mod c而不是原來的(a^b) mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代。 當b是奇數時，我們通過ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。 演算法5：快速冪演算法
將上述的程式碼結構化，也就是寫成函式：
第一行有三個數，N, M, P。 輸出格式 輸出共一行，表示所求。 樣例輸入 2 5 3 樣例輸出 2 資料規模和約定
共10組資料
對100%的資料，A, B為long long範圍內的非負整數，P為int內的非負整數。
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int main() { long long a,b; int ans = 1,n; cin>>a>>b>>n; for(int i=1;i<=b;i++) { ans=ans * a; } ans=ans%n; cout<<ans<<endl; return 0; }
這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中，為O（b）.這個演算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢位。 我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式： (a * b) mod n=(a mod n * b mod n) mod n 於是不用思考的進行了改進： 演算法2：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int main() { long long a,b; int ans = 1,n; cin>>a>>b>>n; a=a%n;//加上這一句 for(int i = 1;i<=b;i++) { ans=ans*a; } ans=ans%n; cout<<ans<<endl; return 0; }
既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變，那麼新算得的ans也可以進行取餘，所以得到比較良好的改進版本。 演算法3：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int main() { long long a,b; int ans = 1,n; cin>>a>>b>>n; a=a%n; for(int i = 1;i<=b;i++) { ans = (ans*a)%n;//這裡再取了一次餘 } ans=ans%n; cout<<ans<<endl; return 0; }
這個演算法在時間複雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪演算法。 快速冪演算法依賴於以下明顯的公式：
1.如果b是偶數，我們可以記k = (a^2) mod n，那麼求(k^(b/2)) mod n就可以了。 2.如果b是奇數，我們也可以記k = (a^2) mod n，那麼求((k^(b/2) )mod c × a ) mod n就可以了。 演算法4：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
long long a,b;
int ans = 1,n;
cin>>a>>b>>n;
a = a % n;
if(b%2==1)
ans = (ans * a)%n; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
int k=(a*a)%n; //我們取a^2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans=(ans*k)%n;
}
ans=ans%n;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}我們可以看到，我們把時間複雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod n時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為k^(b/2) mod c而不是原來的(a^b) mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代。 當b是奇數時，我們通過ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩餘的部分就可以進行迭代了。形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。 演算法5：快速冪演算法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
long long a,b;
int ans = 1,n;
cin>>a>>b>>n;
a=a%n;
while(b>0)
{
if(b%2==1)
ans=(ans*a)%n;
b=b/2;
a= (a*a)%n;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}將上述的程式碼結構化，也就是寫成函式：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int PowerMod(long long a, long long b, int n)
{
int ans=1;
a=a%n;
while(b>0)
{
if(b%2==1)
ans=(ans*a)%n;
b/=2;
a=(a*a)%n;
};
return ans;
}
int main()
{
long long a,b;
int ans,n;
cin>>a>>b>>n;
ans=PowerMod(a,b,n);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}