Introduction to Linear Algebra 線性代數導論

學習視訊來源：麻省理工公開課_線性代數導論 講師：Gilbert Strang

Lecture 6 列空間和零空間

這節我們進一步探討向量空間。

首先看，一個ℝ3${\mathbb{R}}^3$空間裡有子空間平面P$P$和直線L$L$，則P$P$和L$L$的並集是否為子空間？交集呢？畫個簡單的圖之後能輕易看出，P⋃L$P\bigcup L$不滿足加法運算封閉，不是子空間，而P⋂L$P\bigcap L$滿足。

擴充套件到更一般的情況，假設有子空間S$S$和T$T$，那麼S⋂T$S\bigcap T$是否為子空間？假設任取交集中的兩個向量v⃗ $\overrightarrow{v}$和w⃗ $\overrightarrow{w}$，它們既屬於S$S$也屬於T$T$，那麼v⃗ +w⃗ $\stackrel{}{v}$

上述結論再一次強調了向量空間必須滿足的兩個條件：加法封閉和數乘封閉，它們合起來構成線性組合。

Column Space 列空間

已知矩陣A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜123411112345⎞⎠⎟⎟⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right)$，列向量均為ℝ4${\mathbb{R}}^4$中的四維向量，C(A)$C(A)$（A$A$的列空間）是ℝ4${\mathbb{R}}^4$的子空間，C(A)$C(A)$由A$A$所有列的線性組合構成。

⎛⎝⎜⎜⎜⎜123411112345⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜