文章目錄

• 關鍵路徑
• 情景
• 問題
• AOE網
• ve(j)
• vl(k)
• 演算法
• 例子

關鍵路徑

情景

【情景】：你、張三、王五、李四下午約在【叫一隻雞】炸雞店打牌，相約下午14點開始出發
【情況】是這樣子的：

1. 【你】有摩托車，去車站需要15分鐘，從車站到店裡需要10分鐘
2. 【張三】在鄉下，來縣城到車站需要30分鐘
3. 【王五】步行，去店裡需要10分鐘
4. 【李四】騎單車，去店裡需要15分鐘
   【約定】你們做了一個安排：【張三】上來後，【你】去接【張三】來店裡

我們用【有向圖】表示這次【活動】：

活動發起時間14:00

【補充】 vl表示，為了保證14:40能夠開始打牌，各個人最遲的出發時間。求vl時，應該從右邊往左邊求
【關鍵活動】“張三到縣城”，如果張三到縣城的時間耽擱了，那開始打牌的時間就得推遲了
【關鍵路徑】“張三到縣城”->“你到車站等到張三”->“張三、你到達店裡”->“開始打牌”

問題

用【有向網】表示一個【施工流圖】

1. 【弧上的權值】：表示完成該專案【子工程】所需時間
2. 整個工程【完成的時間】：從【有向圖】的【源點】到【匯點】的最長路徑

【問】 哪些子工程項是“關鍵工程”
【解釋】 關鍵工程：這個工作如果推遲完成，它會導致整個工程完成推遲
【定性來談】該弧上的權值增加，將使有向圖上的【最長路徑的長度】增加，這個【弧】稱之為【關鍵活動】或【關鍵工程】

AOE網

【AOE網】上面的圖有向圖即為AOE網
Activity On Edge Network，活動在邊上。用邊表示活動、活動的持續時間，用頂點表示活動發生或結束的事件。
【相關概念】

1. 頂點：活動的開始或結束的事件
   頂點1表示：活動a2、a3的開始
   頂點6表示：活動a6、a7的結束
2. 邊：活動的執行時間
3. 源點：沒有入度，結點1
4. 匯點：沒有出度，結點6

【關鍵路徑】從源點開始，到匯點結束的最大長度的路徑

1. 圖中1->3->6，由a2、a6組成的路徑，長度為8
2. 圖中1->4->6，由a3、a7組成的路徑，長度為9
   【關鍵路徑】後者才是關鍵路徑，a3、a7叫關鍵活動
   【關鍵】代表工程完成的最短時間 --> 關鍵路徑上的關鍵活動完成，所有工程才可能完成 --> 關鍵活動會影響整個工期，非常關鍵了

如何求關鍵活動

ve(j)

【含義】 事件（頂點）最早發生的時間
【解釋】這個事件（這個工作，這個工程）最早什麼時候能開始
【定性來談】ve(j)=從源點到頂點j的最長路徑長度

匯點（終點）的【最早發生時間】：即為整個工程能夠【最早完成的時間】
【解釋】中途不拖拉，一個工作完成，下一個工作立刻動手。整個工程保質保量的幹下來（效率最高），最早能夠完成的時間。我們記為plan_time，後面要用到

vl(k)

【含義】事件（頂點）的最遲發生時間vl(k)
【解釋】上面談到plan_time，與這個有關。假設，我們要在plan_time的時間內把整個工作做完，每個小工作最遲開始的時間稱之為【最遲發生時間】。也就是說，【小工程】最遲什麼時候開始，它不會影響總工程的按時的完成
【定性來談】vl(k)=從頂點k到匯點（終點）的最短路徑長度

演算法

假設第i條弧為<i,k>
則 第i項活動

• “活動（弧）”的最早開始時間ee(i)：ee(i)=ve(j)
• “活動（弧）”的最遲開始時間el(i)：el(i)=vl(k)-dut(<j,k>)

事件發生時間的計算公式：

ve(源點) = 0;
ve(k) = Max{ ve(j) + dut(<j,k>) }

vl(匯點) = ve(匯點)
vl(j) = Min{ vl(k)-dut(<j,k>) }

演算法實現要點

顯然，求ve的順序應該是按【拓撲有序的次序】
   而，求vl的順序應該是按【拓撲逆序】的次序
因為，拓撲逆序序列即為【拓撲有序序列的逆序列】
因此，應該在拓撲排序的過程中，另設一個“棧”記下拓撲有序序列

例子

【說明】vl為最遲發生時間，保證18天完成，每項工作最遲第幾天開始。求得時要從後面往前求

【說明】el這道工序最遲開始的時間

【關鍵活動】1->2、2->5、5->8、8->9
【說明】最早開始時間 與 最遲開始時間 相同的弧
【解釋】活動不能夠推遲的，兩個時間相同

【關鍵路徑】1->2->5->8->9
【解釋】該路徑就是圖中的最長路徑，如果最長路徑上因為一些事情耽擱了，權重邊長了，那麼工期就會被延長