[Leetcode]279.完全平方數
阿新 • • 發佈:2018-12-31
最開始的時候,我想到的動態方程很簡單,就是
dp[i]=min(dp[i],dp[i-平方數]+1)
其中i-平方數
一定要大於0要不然就會越界。這個思路很簡單,舉個例子:
dp[5]=min(dp[5-1^2]+1,dp[5-2^2]+1,dp[5])
這表示5可以如下組合:
dp[5] = min(所有組成4的完全平方數+完全平方數1即dp[4]+1, 所有組成1的平方數+完全平方數4即dp[1]+1)
這個方程在初始化dp[0] ,dp[1],dp[2] 和其他的dp為一個大值之後就非常簡單了,只需往MAXN
迭代就行了,演算法的效率為O(nlog n)
原始解法:
class Solution { public: int numSquares(int n) { const int MAXN=10000; int dp[MAXN+1]; memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0]=0; dp[1]=1; /*1*1=1*/ dp[2]=2; /*1*1+1*1=2*/ dp[3]=3; /*1*1+1*1+1*1=3*/ dp[4]=1; /*2*2=4*/ for(int i=5;i<=MAXN;i++){ for(int j=1;i-j*j>=0;j+=1){ dp[i]=min(dp[i],dp[i-j*j]+1); } } return dp[n]; } };
這個演算法雖然非常容易實現但效率非常的低,我們依然嘗試這個方程,換一個方向去實現。
這次使用了vector
來儲存dp
陣列,目的是為了節省空間。在第二層遍歷的時候
for (int j=1; i+j*j <= n; j++)
我們通過正向進行遍歷演算法方便理解。
程式碼在執行上比原來的程式碼要快,但是還是沒有改變演算法的O(nlog n)的效率
class Solution { public: const int MAXN=0x3f3f3f3f; int numSquares(int n) { vector<int> dp(n+1, MAXN); dp[0] = 0; for (int i=0; i<=n; i++) for (int j=1; i+j*j <= n; j++) { dp[i+j*j] = min(dp[i+j*j], dp[i] + 1); } return dp.back(); } };
我們看一下最高效的解法,這種解法沒有用到動態規劃而是用數學的方法解決的。我們列舉答案後發現每一個正數必由1-4個完全平方數,沒有超過4。這在數學上又叫做[四平方定理][https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9B%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E5%AE%9A%E7%90%86]
即滿足四數平方和定理的數n(一定由四個數構成),必定滿足n=4^a(8b+7)
這樣我們可以通過定理快速寫出如下程式碼。
class Solution { public: int numSquares(int n) { // 去除4因子 while (n % 4 == 0) n /= 4; // 若除8餘7,滿足四平方定理,必由4個完全平方陣列成 if (n % 8 == 7) return 4; // 再嘗試將其拆成兩個或一個完全平方數 for (int i=0; i*i <= n; i++) { int b = sqrt(n - i*i); if (i*i + b*b == n) return !!i + !!b; } return 3; } };