寫在前面
前面幾節分別介紹了模型變換，視變換，本節繼續學習OpenGL座標變換過程中的投影變換。這裡主要是從數學角度推導投影矩陣。對數學不感興趣的，可以稍微瞭解下，或者跳過本節內容。

，這裡對他的推導思路稍微進行了整理。

通過本節可以瞭解到

• 透視投影矩陣的推導
• 正交投影矩陣的 推導
• 視口變換矩陣的推導
• zFighting問題

投影變換

OpenGL最終的渲染裝置是2D的，我們需要將3D表示的場景轉換為最終的2D形式，前面使用模型變換和視變換將物體座標轉換到照相機座標系後，需要進行投影變換，將座標從相機—》裁剪座標系，經過透視除法後，變換到規範化裝置座標系(NDC)，最後進行視口變換後，3D座標才變換到螢幕上的2D座標，這個過程如下圖所示：

投影變換通過指定視見體(viewing frustum)來決定場景中哪些物體將可能會呈現在螢幕上。在視見體中的物體會出現在投影平面上，而在視見體之外的物體不會出現在投影平面上。投影包括很多型別，OpenGL中主要考慮透視投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。兩者之間存在很大的區別，如下圖所示(圖片來自Modern OpenGL)：

上面的圖中，紅色和黃色球在視見體內，因而呈現在投影平面上，而綠色球在視見體外，沒有在投影平面上成像。

指定視見體通過(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6個引數來指定。注意在相機座標系下，相機指向-z軸，nearVal和farVal表示的剪裁平面分別為:近裁剪平面z

=−nearVal，以及遠裁剪平面z=−farVal。推導投影矩陣，就要利用這6個引數。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。

透視投影矩陣的推導

透視投影中，相機座標系中點被對映到一個標準立方體中，即規範化裝置座標系中，其中[l,r]映射到[−1,1]，[b,t]對映到[-1,1]中，以及[n,f]被對映到[−1,1]，如下圖所示：

注意到上面的相機座標系為右手系，而NDC中+z軸向內，為左手系。

我們的目標

求出投影矩陣的目標就是要找到一個透視投影矩陣P使得下式成立：

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=P∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥
⎡⎣⎢xny

nzn⎤⎦⎥=⎡⎣⎢xc/wcyc/wczc/wc⎤⎦⎥
上面的除以wclip過程被稱為透視除法。要找到我們需要的矩陣P，我們需要利用兩個關係:

• 投影位置xp,yp和相機座標系中點xe,ye之間關系。投影後對於z分量都是z_{p}=-nearVal$。
• 利用xp，yp和xndc，yndc關係求出xclip,yclip。
• 利用zn與ze關係得出zclip

計算投影平面上的位置

投影時原先位於相機座標系中的點p=(xe,ye,ze)投影到投影平面後，得到點p′=(xp,yp,−nearVal)。具體過程如下圖所示：

需要空間想象一下，可以得出左邊的圖是俯檢視，右邊是側檢視。
利用三角形的相似性，通過俯檢視可以計算得到:
xpxe=

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