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圖形學1-三維座標系間的變換矩陣推導

概要:三維座標系的變換,實質上則是原點以及正交基向量的變化,在空間中表現為平移和旋轉。


如圖所示的座標系變換,可以用一個變換矩陣來表示。

雖然原理也比較簡單,但是大一學的線性代數已經有點忘記了。=////=

接下來,就當複習一下,我來推匯出這個變換矩陣是如何得到的,用到是一些比較基本的線性代數的知識。

首先,我們要理解為什麼需要這個矩陣,我們在什麼情況下需要這個矩陣。很明顯,在已知新座標系的基向量的情況下,如果我們需要將原座標系的座標轉化為新座標系下的座標,就可以使用這個矩陣。

已知:點P在原座標系的座標為(x,y,z),x軸方向的單位向量為,y軸方向的單位向量為,z軸方向的單位向量為

新座標系的原點在原座標系的座標為(x0,y0,z0),

  x軸方向的單位向量為

  y軸方向的單位向量為

  z軸方向的單位向量為

求:點P在新座標系下的座標(x’,y’,z’)。

理解:所謂點的座標其實就是向量的線性組合,而座標系之間基向量的轉變也是向量的線性組合,這時候很明顯要想到矩陣了!

為了得到這個矩陣,我們需要構造一個線性方程組。如下:


根據這個方程組我們可以比較容易地得到:


接下來是最後一步,我要求出這個方陣的逆矩陣,這裡只需要先左乘一個矩陣使得方陣變為這個形式的矩陣


然後,再對A、B分別求逆矩陣即可,而A矩陣是正交矩陣,正交矩陣的逆矩陣等於轉置矩陣,這裡只需要簡單地轉置即可,而B矩陣為[1],逆矩陣為[1]。

最後得到,

右邊的方陣就是我們所需要的變換矩陣!

總結:座標系的轉化,其實就是將衡量標準通過另一組正交基向量來展示,而正交基向量的轉化就是對原正交基向量的線性組合。

By-蔣晨書 2017-4-8