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  Name: 整數劃分問題
  Copyright: 
  Author: 巧若拙 
  Date: 06-04-17 09:02
  Description: 整數劃分問題是演算法中的一個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。
  所謂整數劃分，是指把一個正整數n寫成如下形式：
n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的一個m劃分。
這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);
 例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
 注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。
該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;
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                                           （一）遞迴法
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根據n和m的關係，考慮以下幾種情況： 
（1）當 n = 1 時，不論m的值為多少（m > 0 )，只有一種劃分即 { 1 };
 (2) 當 m = 1 時，不論n的值為多少，只有一種劃分即 n 個 1，{ 1, 1, 1, ..., 1 };
 (3) 當 n = m 時，根據劃分中是否包含 n，可以分為兩種情況：
 	 (a). 劃分中包含n的情況，只有一個即 { n }；
	 (b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。
	 因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);
 (4) 當 n < m 時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於 f(n, n);
 (5) 但 n > m 時，根據劃分中是否包含最大值 m，可以分為兩種情況：
	(a). 劃分中包含 m 的情況，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和為 n - m，
	可能再次出現 m，因此是（n - m）的 m 劃分，因此這種劃分個數為 f(n-m, m);
	(b). 劃分中不包含 m 的情況，則劃分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 劃分，個數為 f(n, m - 1);
	因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

 綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於迴歸條件，
 （3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，
 其本質主要是通過減小m以達到迴歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：
 f(n, m) = 1;  ( n = 1 or m = 1 )
 f(n, n);      ( n < m )
 1+ f(n, m - 1); ( n = m )
 f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )
 
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                                           （二）動態規劃法 
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 因為整數劃分問題滿足最優子結構和子問題重疊特徵，故可以用動態規劃演算法來解。
 分別使用了自頂向下的備忘錄演算法和自底向上動態規劃演算法，並且給出了一個優化演算法。 
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#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

const int N = 40;
int F[N][N]; //備忘錄，記錄n的m劃分的個數
int Fun_2(int n, int m); //自頂向下的備忘錄演算法解整數劃分問題
int Fun_3(int n, int m); //自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題
int Fun_4(int n, int m); //優化的自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題

int Fun(int n, int m); //遞迴法解整數劃分問題

int main() 
{
 	int n = 12;
 	
 	for (n=1; n<=20; n++)
 	{
	 	for (int i=0; i<=n; i++)
	 	{
		 	for (int j=0; j<=n; j++)
		 		F[i][j] = 0;
		}
	 	cout << Fun(n, n) << "  ";
	 	cout << Fun_2(n, n) << "  ";
	 	cout << Fun_3(n, n) << "  ";
	 	cout << Fun_4(n, n) << endl;
    }
 	
    system("pause");
    return 0;
}

int Fun(int n, int m) //遞迴法解整數劃分問題
{
 	if (n == 0 || m == 0)
        return 0;
 	if (n == 1 || m == 1)
 	    return 1;
    if (n < m)
        return Fun(n, n);
    if (n == m)
        return Fun(n, n-1) + 1;
    
    return Fun(n-m, m) + Fun(n, m-1);
}

int Fun_2(int n, int m) //自頂向下的備忘錄演算法解整數劃分問題
{
 	if (F[n][m] > 0)
        return F[n][m];
 	if (n == 0 || m == 0)
 	    return 0;
 	   
    if (n == 1 || m == 1)
	    F[n][m] = 1;
    else if (n < m)
        F[n][m] = Fun_2(n, n);
    else if (n == m)
        F[n][m] = Fun_2(n, n-1) + 1;
    else
        F[n][m] = Fun_2(n-m, m) + Fun_2(n, m-1);
    
    return F[n][m];
}

int Fun_3(int n, int m) //自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題
{
 	for (int i=1; i<=m; i++)
 		F[0][i] = 1;
 	   
    for (int j=1; j<=m; j++)//為實現自底向上，必須要保證j在外層迴圈，然後j<=i<=n在內層迴圈 
    {
	 	for (int i=j; i<=n; i++)
	 	{
		 	F[i][j] = F[i-j][j] + F[i][j-1];
		}
	}
    
    return F[n][m];
}

int Fun_4(int n, int m) //優化的自底向上的動態規劃演算法解整數劃分問題
{
 	int cur[N] = {1}; //備忘錄，記錄當前行的結果 
 	
 	//注意到演算法3中累加了F[i][j](1<=j<=m)的值，故可以用一維陣列代替二維陣列 
    for (int j=1; j<=m; j++)
    {
	 	for (int i=j; i<=n; i++)
	 	{
		 	cur[i] += cur[i-j];
		}
	}
    
    return cur[n];
}