哪些數可表成兩個平方數之和

對於一個正整數m$m$ ，如果m$m$每個素因子都可以表示成兩個平方數之和，則素因子分解後，用公式

但還有一些m$m$，不滿足上述條件。

但列出後可以發現，對於m=a2+b2$m=a^2+b^2$，兩邊乘上d2$d^2$，可得

於是可以將一個數m$m$質因子中的平方項先提出來。

定理 兩平方數之和定理 設

• 將m$m$質因子這樣分解後

其中p1,p2,...,pr$p_1,p_2,...,p_r$是互不相同的素因子，則m$m$可以表示成兩個平方數之和的充要條件是每個pi$p_i$或為2或為模4餘1

• m$m$能表示成m=a2+b2$m=a^2+b^2$，且gcd(a,b)=1$gcd(a,b)=1$，當且僅當以下兩個條件之一成立：

  1. m$m$是奇數，且m$m$的每個素因子都模4餘1
  2. m$m$是偶數，m/2$m/2$是奇數且m/2$m/2$的每個素因子都模4餘1

回顧一下，本原勾股陣列

定理2.1 （勾股陣列定理）. 每個本原勾股陣列（a,b,c)（a為奇數，b為偶數)都可從如下公式得出：

有以上兩條定理可知，c$c$是一個本原勾股陣列的斜邊當且僅當方程

且有如下命題

畢達哥拉斯斜邊命題 c$c$是一個本原勾股陣列斜邊的充要條件是c$c$是模4餘1的素數的乘積