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最少攔截系統

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 40250 Accepted Submission(s): 15708
Problem Description 某國為了防禦敵國的導彈襲擊,發展出一種導彈攔截系統.但是這種導彈攔截系統有一個缺陷:雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度,但是以後每一發炮彈都不能超過前一發的高度.某天,雷達捕捉到敵國的導彈來襲.由於該系統還在試用階段,所以只有一套系統,因此有可能不能攔截所有的導彈.
怎麼辦呢?多搞幾套系統唄!你說說倒蠻容易,成本呢?成本是個大問題啊.所以俺就到這裡來求救了,請幫助計算一下最少需要多少套攔截系統.

Input 輸入若干組資料.每組資料包括:導彈總個數(正整數),導彈依此飛來的高度(雷達給出的高度資料是不大於30000的正整數,用空格分隔)

Output 對應每組資料輸出攔截所有導彈最少要配備多少套這種導彈攔截系統.

Sample Input 8 389 207 155 300 299 170 158 65
Sample Output 2 思路：

在我第一次做這個題的時候，我是這麼想的。

每一個攔截系統，可以攔截下非遞增的導彈序列。我們當然要充分利用每一個攔截系統，所以題目變成了求，有多少個最長非遞增子序列。

8 389 207 155 300 299 170 158 65

389 300 299 170 158 65 一個

207 155 一個

所以需要兩個

怎麼實現呢？

我使用O(n^2)的最長非遞增子序列的演算法

得到dp陣列：

1 2 3 2 3 4 5 6

代表的是這個位置的數，他可以在最長非遞增子序列裡充當的最靠後的位置。
一個導彈系統，可以把不重複的數的導彈攔截，即是不重複的數可以串成一個最長非遞增子序列。

比如上面的dp陣列

1 2 3 2 3 4 5 6

* 2 3 * * * * *

下面打星號的可以串成一個最長非遞增子序列（389 300 299 170 158 65）

剩下的同樣可以將不重複的數串成一個最長非遞增子序列（207 155）

因此，重複的數最多有多少個，說明我們需要多少個最長非遞增子序列，即是攔截系統的數量。

不再給出程式碼。

上面的方法很是繞腦啊，在我做第二遍的時候，我發現了，其實這個可以用最長上升子序列來解。最長上升子序列的長度，就是攔截系統的數量。

因為導彈每上升一個高度，我們原來的導彈系統就沒法攔截了，就需要一個新的攔截系統。所以這個題可以轉化為最長上升子序列輕鬆解決。

不再給出程式碼。

前不久學習了O(nlogn)的最長上升子序列解法，我又嘗試用這個做了一遍。

最長上升子序列O(nlogn)解法，其實已經不算動態規劃了，算是貪心+二分。優點是利用二分將一個n降到了logn的時間。缺點是，我們不能還原出最長上升子序列的具體序列了。

O(nlogn)的解法，是用一個數組a[]，a[i]代表長度為i的上升子序列的最後一位的最小值

如果第j個數，比a[i]大，說明它可以作為第i+1個數，上升子序列長度+1

否則，看看它能否更新a[1~i]裡的最小值。因為a陣列內的值是嚴格遞增的，所以可以用二分查詢降低時間複雜度。

樣例中，a陣列的變化如下：

num 389 207 155 300 299 170 158 65

a 389

  207

155

155 300

155 299

155 170

155 158

65 158

最後a陣列的長度就是最長上升子序列的長度。

AC程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int ans;
int num[10010];
int dp[10010];

int dic(int L,int R,int x)
{
    if(L==R) return L;
    int mid=(L+R)>>1;
    if(dp[mid]<x) return dic(mid+1,R,x);
    else return dic(L,mid,x);
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d",&num[i]);
        }
        dp[0]=-INF;
        ans=0;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            if(num[i]>dp[ans])
            {
                ans++;
                dp[ans]=num[i];
            }
            else
            {
                int p=dic(1,ans,num[i]);
                dp[p]=num[i];
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}