尤拉公式

證明過程如下
首先是泰勒展開



參考cosX和sinX的泰勒展開可以證明這個問題。
還有下面這個號稱宇宙最美公式

“自然底數e，自然數1和0，虛數i還有圓周率pi，它是這麼簡潔，這麼美麗啊！”

傅立葉級數

傅立葉在提出傅立葉變換時，堅持認為任何一個週期訊號都可以展開成傅立葉級數。但是實際上不然，狄裡赫利認為一個週期訊號必須滿足下面條件

1. 函式在任意有限區間內連續，或只有有限個第一類間斷點（當t從左或右趨於這個間斷點時，函式有有限的左極限和右極限）
2. 在一個週期內，函式有有限個極大值或極小值。
3. x(t)在單個週期內絕對可積，即
   

下面，我們嘗試將上述式子轉化為指數形式

令

上面合併也就是

我們得到了

或者寫成

其中

傅立葉變換

傅立葉變換必須針對一個周期函式，或者是針對一個只有一段定義域的函式（我們可以對其進行週期延拓）。但是，如果一個函式的週期是無限大呢？那麼，她就是傅立葉變換。

可以證明，如果是時域的訊號是實訊號，那麼對應的傅立葉變換的是實部一定為偶函式。

進行頻譜分析時，我們最關注的並非時實部和虛部。而是幅度和相位。
顯然根據上面所說的狄裡赫利條件，一個函式要能做傅立葉變換必須在正負無窮內絕對可積。當然，很多函式並不符合這個條件。

拉普拉斯變換

為了讓一個並非時域絕對可積的函式進行傅立葉變換，我們將它乘以一個指數函式來進行衰減，只就是拉普拉斯變換。

離散傅立葉變換

小波變換