數字影象處理筆記——酉變換（ Unitary image transforms）

阿新 • • 發佈：2019-01-01

酉變換

酉變換可以由如下方式定義，其中輸入和輸出之間的關係可以寫成矩陣相乘的形式，矩陣A稱為酉矩陣，A滿足A的逆矩陣等於A的共軛對稱矩陣

DFT變換就是一個酉變換，係數矩陣A滿足每一列的模是1並且由於不同頻率正弦訊號之間的正交性，列之間是相互正交，因此A也是一個酉矩陣

對於二維DFT我們可以看做兩次一維的DFT，因此我們也可以寫成矩陣相乘的形式

基

我們表達一個二維影象或者是一個一維向量，我們都是用基的形式來表示

空域基

我們在空域上表示一個影象實際上就是把每個畫素看做一個基，然後每個點的畫素合起來形成一整幅影象

傅立葉基

我們在頻域上表示影象實際上是把影象中不同頻率成分的向量看做不同的基來表示影象

如下圖就是頻域的基在空域上的體現，也就是說每幅影象都是由這些影象加權得到的

二維DFT有它的好處，但是它也有壞處，比如傅立葉變換後得到的頻譜值是一個複數，但是我們實際上只需要一個實數，正因為如此我們很多時候不得不用abs來對係數取模；第二個缺點就是每個基實際上都包含了整幅圖的資訊，這使得有的時候我們表達一幅影象的開銷更大。比如我們有一幅圖只有一個畫素點是1，那麼我們用空域的表達只需要一個係數，但是如果我們要在頻域上表示，那麼我們將用很多個255來表示它（類比衝激響應的頻譜是一條直線）

其他常用變換

離散餘弦變換

為了解決以上第一個問題，我們可以改變影象的基，既然我們的基帶有虛數，那我們只需要採用實數基就可以了，這也就是離散餘弦變換（DCT）的由來。離散餘弦變換也滿足酉變換的條件，並且也像DFT一樣存在快速演算法

如下圖所示是離散餘弦變換的基在空域上的表示

DCT是JPEG標準非常重要的演算法

與離散餘弦變換類似的是還存在離散正弦變換

Hadamard變換

以上提到的變換都是浮點型運算，為了使運算中只存在加減，我們引入了Hadamard變換

如下圖所示是Hadamard變換的基在空域上的表示

Harr變換

為了解決傅立葉變換的第二個問題，我們引入了Harr變換，Harr變換是一種小波變換，有關小波介紹戳我。

如下圖所示是小波變換的基在空域上的表示，可以看到小波變換的基不是像其他變換一樣覆蓋整個影象的，而是在高頻的部分將基函式本地化來覆蓋影象的不同區域

以下是小波變換的優點，我們可以看出最重要的一點就是它擁有區域性的基函式，從而在時域劃分與頻域劃分上找到了一種平衡

數字影象處理筆記——酉變換（ Unitary image transforms）

酉變換酉變換可以由如下方式定義，其中輸入和輸出之間的關係可以寫成矩陣相乘的形式，矩陣A稱為酉矩陣，A滿足A的逆矩陣等於A的共軛對稱矩陣 DFT變換就是一個酉變換，係數矩陣A滿足每一列的模是1並且由於不同頻率正弦訊號之間的正交性，列之間是相互正交，因此A也是一個酉矩陣對於二

數字影象處理筆記——閾值（Thresholding）

閾值我們將影象分塊最簡單的方法就是設定一個閾值對影象進行二值化處理，那麼這個閾值我們應該如何選擇呢對於影象的直方圖存在明顯邊界的影象，我們可以很容易找到這個閾值，但是如果影象直方圖分界不明顯，那麼這個閾值的尋找將變得十分困難。因此我們存在全域性閾值與區域性閾值兩種全域性

數字影象處理筆記——邊緣檢測（Edge detection）

邊緣檢測我們之前講邊緣檢測的時候講到了一階導和二階導，理想邊緣的畫素值是跳變的，而斜坡邊緣的畫素值是漸變的。我們在求一階導的時候導數值大的地方可以看做邊緣；若是對於斜坡邊緣，我們不想得到一長條邊緣，而只想得到這個漸變的中央點時，我們可以看二階導，二階導只在邊緣開始與結束的地方會出現，因此我們只

數字影象處理筆記——空域濾波器（Spatial filters）

訊號處理我們在訊號處理課程中學過一維訊號的處理，其中有個很重要的概念就是卷積。在時域上來看，x是我們的原訊號，h是衝激響應，x*h代表x與h卷積，也就是將h翻轉平移，與x對應元素相乘相加以後就能得到輸出訊號；在頻域上來看就是x的頻譜與y的頻譜相乘可以得到y的頻譜，再經過傅立葉反變換就能得到輸出

數字影象處理筆記——幾何操作（Geometric operations）

幾何操作所謂的幾何變換就是對影象進行平移、縮放、翻轉等操作。我們將幾何操作與之前提到的點操作進行一個對比，我們可以知道點操作是對畫素的值進行變換，即點還是原來的點T(x,y)，在這個基礎上對灰度值進行T()變換；而幾何操作是對座標進行變換，新的座標由舊的座標經過計算得到，二者的灰度值相同

數字影象處理筆記（四）：灰度變換

1 - 引言影象處理分為空間域和變換域（在影象的傅立葉變換上進行處理），空間域是指影象平面本身，主要是直接以影象中的畫素操作為基礎進行影象處理，空間域的處理主要分為灰度變換和空間濾波兩類，本文主要介紹灰度變換和空間濾波在影象增強方面的應用，使得輸出的影象比原始影象更適合特定需求的一種處

數字影象處理筆記——二維離散傅立葉變換（2D Discrete Fourier Transform）

二維傅立葉變換我們先來看看一維情況的傅立葉變換。在訊號系統中講過連續時間的傅立葉變換和離散時間的傅立葉變換，連續時間傅立葉變換在頻譜上時非週期的，離散時間傅立葉變換（DTFT）在頻譜上是週期的。在DSP中講了離散傅立葉變換，它的思想是將時域週期化，反映在頻域上就是對連續的週期頻譜進行抽樣

數字影象處理筆記（三）：使用OpenCV檢測影象特徵

1 - 引言在數字影象處理中還提供了許多檢測影象簡單特徵的方法，例如邊緣檢測、輪廓檢測、直線檢測、圓檢測等。讓我們用OpenCV實現以下這些演算法吧 2 - Canny邊緣檢測 OpenCV提供了一個非常方便的Canny函式（以演算法的發明者命名） import cv2 i

數字影象處理筆記（二）：使用OpenCV處理影象

1 - 傅立葉變換傅立葉變換是影象處理的基礎，Joseph Fourier(約瑟夫 ⋅ \cdot ⋅

數字影象處理筆記（一）：利用OpenCV的Cameo框架搭建實驗環境

1 - 引言 Python的應用程式可以通過面向物件的方法來實現，OpenCV提供了一個Cameo框架可以捕捉電腦的攝像頭。我們可以通過編寫新增框架裡的類和方法來對攝像頭捕捉到的畫面進行影象處理和實驗，是一個很好的學習方法，下面讓我們來搭建一下這個Cameo框架 2 - 使用mana

數字影象處理筆記——直方圖和點操作（Histograms and point operations）

直方圖我們根據灰度值的大小可以將灰度值相同的畫素分到同一組，將每個灰度值所含的畫素點數目畫出來得到的圖就是直方圖。點操作我們可以對每個畫素點的值進行改變，這種操作叫做點操作。對比度增強對比度增強就是將灰度值的範圍拉到已達到顏色差別更明顯的目的，

數字影象處理筆記（十三）：影象特徵表示和描述

1 - 引言在我們進行影象識別的時候，往往是將圖片中的特徵來表示整張圖片讓計算機進行識別，基本上表示一個區域涉及兩種選擇：外部特徵內部特徵下一步就是基於所選擇的表示來描述區域當我們關注的重點是形狀特徵時，可選擇一種外部表示；而當關注的重點是內部屬

數字影象處理筆記（十二）：影象分割演算法

1 - 引言在影象識別中，如果可以將影象感興趣的物體或區別分割出來，無疑可以增加我們影象識別的準確率，傳統的數字影象處理中的分割方法多數基於灰度值的兩個基本性質不連續性以灰度突變為基礎分割一副影象，比如影象的邊緣相似性根據一組預定義的準則將一副影象分割為相似的

數字影象處理筆記（十一）：邊緣檢測演算法

1 - 引言在影象識別中，如果可以將影象感興趣的物體或區別分割出來，無疑可以增加我們影象識別的準確率，傳統的數字影象處理中的分割方法多數基於灰度值的兩個基本性質不連續性、以灰度突變為基礎分割一副影象，比如影象的邊緣相似性根據一組預定義的準則將一副影象分割為相似

數字影象處理筆記（十）：形態學影象處理

1 - 引言數學形態學的語言是集合論，利用集合論知識我們可以實現影象腐蝕、膨脹開操作、筆操作下面就讓我們學習一下這些基於形態學的影象處理 2 - 腐蝕和膨脹膨脹與腐蝕能實現多種多樣的功能，主要如下：消除噪聲分割(isolat

數字影象處理筆記（九）：選擇性濾波

1 - 引言在前面我們討論了高通和低通濾波器對影象進行處理，它們都是在整個影象的頻率矩陣上操作，但是在很多應用中，我們感興趣是處理指定的頻段或頻率矩形的小區域，因此需要使用選擇性濾波，選擇性濾波主要有兩類帶阻濾波器或帶通濾波器陷波濾波器下面就讓我們來介紹一下這兩

數字影象處理筆記（八）：頻域高通濾波銳化影象

1 - 引言在筆記（七）中，我們通過衰減影象的傅立葉變換的高頻成分來平滑物件，因為邊緣和其他灰度的急劇變化與高頻分量有關，所以影象的銳化可在頻域通過高通濾波來實現。一個高通濾波器是從給定的低通濾波器用下式得到：

數字影象處理筆記（七）：頻域低通濾波平滑影象

1 - 傅立葉變換在前面我們對空間濾波做了重點的研究，現在我們來介紹一下涉及頻率域中的各種濾波技術。影象從空間域轉換到頻率域使用的是二維傅立葉變換，一個畫素為M*N的影象f(x,y)進行傅立葉變換得到F(u,v)，那麼一般的公式為：

數字影象處理筆記（六）：空間濾波基礎

1 - 引言空間濾波是影象處理領域應用廣泛的主要工具之一。這裡我們主要討論怎樣使用空間濾波來增強影象。 2 - 平滑空間濾波器平滑濾波器用於模糊處理和降低噪聲。模糊處理經常用於預處理任務中，例如在目標提取之前去除影象中的一些瑣碎細節。 2.1 - 平滑線性濾波器平滑

數字影象處理筆記——Snakes演算法、活動輪廓以及水平集（Snakes, active contours, and level sets）

Snakes演算法上一講我們講的影象分割演算法主要是基於畫素的，這一講主要是基於曲線的。我們希望能得到一個能夠包圍住影象輪廓的平滑的曲線，snakes演算法就是一個很有用的演算法。首先我們將曲線的座標x、y同一用引數s表示，s範圍從0-1代表從起點繞曲線一週再回到原點我們假定初始化