一、問題描述

設 n 是一個正整數。現在要求將 n 分解為若干個自然數之和，使得自然數的成績最大。輸出這個最大的乘積。

要求：

（1）要求這些自然數 互不相同。
（2）要求這些自然數 可以相同。（同一個數結果大於等於（1）的結果）

二、問題分析

1、要求這些自然數 互不相同：

先來看幾個數找找規律：
（1）小於等於 4 的情況就不用說了。
（2）從 5 開始寫起：5=2+3，6=2+4，7=3+4，8=3+5，9=2+3+4，10=2+3+5，11=2+4+5
  Ps：從 1 開始寫沒意義，因為相乘還是 1*x==x 還少了相對於原來的 n 還少了 1 呢，更小了，所以從 2 開始才行~

發現規律如下：

• 儘量使得元素是連續的，（一律從 2 開始）。
• 如果連續加的時候，某個數 k 加的時候正好超出了 n ，則該數 k 不能算入，而是把讓 rest =（n - 前面  ( k - 1 ) 項總和），從後往前（因為一開始就使升序，所以也從大到小）均勻分配（+1）到各個元素，直到 rest == 0。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;

int a[100],b[100];

int main()
{
    int rs=0,len=0;
    for(int i=2;rs<=1100;i++)
    {
        a[len++]=i;
        rs+=i;
    }

    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n<=4) // 沒辦法拆分成不同的數使乘積大於等於 (1*n)
        {
            //...
            continue;
        }

        rs=0;
        int k=0;
        for(int i=0;i<len-1;i++)
        {
            rs+=a[i];
            if(n-rs<a[i+1])
            {
                b[k++]=a[i];
                rs=n-rs;
                int j=k-1;
                while(1)
                {
                    b[j--]+=1;
                    rs--;
                    if(rs<=0) break;
                    if(j==-1) j=k-1;
                }
                break;
            }
            else if(n-rs==a[i+1])
            {
                b[k++]=a[i];
                b[k++]=a[i+1];
                break;
            }
            else
                b[k++]=a[i];

            if(rs<=0) break;
        }

        printf("%d",b[0]);
        for(int i=1;i<k;i++)
            printf(" %d",b[i]);
        puts("");
    }

    return 0;
}
 

2、要求這些自然數 可以相同：

先來看幾個數找找規律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3

發現規律如下：

（1）元素不會超過4，因為4=2+2，又可以轉化為2的問題，而5=2+3，5<2*3，所以5總能分解成2和3。
（2）儘可能多分解出3，然後分解出2，不要分出1。

考慮任意一個數，除以3之後的結果有以下3種：
（1）能被3除斷（即整除），那麼就分解為3+3+...+3的情況即可。例如：9=3+3+3。
（2）被3除餘1，分解為3+3+...+3+2+2或者3+3+...+3+4的情況，例如：10=3+3+2+2
（3）被3除餘2，分解為3+3+...+3+2的情況，例如：11=3+3+3+2。

Code（注意：有秒殺公式）：

#include<bits/stdc++.h>
#include<cmath>

#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    int n;
    while(T-- && ~scanf("%d",&n))
    {
        int rs;
        if(n==0) rs=1; // 根據題目需要
        else if(n<4) rs=n; // 根據題目需要
        else
        {
            int cnt3,cnt2; // 3的個數 2的個數
            if(n%2==1) // 奇數時
            {
                cnt3=(n-3)/6*2+1;
                cnt2=(n-3)%6/2;
            }
            else // 偶數時
            {
                cnt3=n/6;
                cnt2=n%6/2;
            }
            rs=pow(3,cnt3) * pow(2,cnt2);
        }

        printf("%d\n",rs);
    }

    return 0;
}