第一類斯特林數

$p$個不同人圍著 $m$個不同圓桌坐，要求每桌非空，方案數即為 $S($

p , k ) S(p,k)

遞推

邊界
$S(p,$

p ) = 1 ( p > = 0 ) , S ( p , 0 ) = 0 ( p > = 1 ) S(p,p)=1(p>=0),S(p,0)=0(p>=1)
分類討論一下…
新加入的人可以新開一張桌子，前面的方案即為 $S(p-1,k-1)$
也可以和之前的人坐，先把前面的人安排好了的方案數是 $S(p-1,k)$，我們讓這個人任選一個人，坐在他的左邊，方案數即為 $(p-1)*S(p-1,k)$
綜上，轉移即為
$S(p,k)=S(p-1,k-1)+(p-1)*S(p-1,k)$
複雜度 $O(n^2)$

性質

第一類斯特林數 $S(n,m)$其實可以表示為 $x$的 $n$次上升冪的第 $m$項係數
即
$x^{n \uparrow} = x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1) =\sum_{i = 0}^n s(n, k) x^k$
可以分治NTT或FFT求出，複雜度 $O(nlogn^2)$

第二類斯特林數

$n$個不同球放入 $m$個相同盒子的方案數即為 $S(n,m)$

遞推

仍然分類討論
新加入的球可以新開一個盒子，即為 $S(n-1,m-1)$
或者在之前任選一個盒子放入，即為 $m*S(n-1,m-1)$
綜上所述，有
$S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m-1)$
複雜度 $O(n^2)$

容斥原理

我們可以列舉至少有多少個盒子是空的，剩下的盒子隨便放
那麼有
$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC_m^k(m-k)^n$
再推一下會有
$=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^k\frac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n$
$=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}$
容易發現，這是一個卷積形式，組合數和次冪都可以預處理
於是可以通過FFT或者NTT求出 $S(n,0),S(n,1)...$
複雜度 $O(nlogn)$

性質

$n^k=\underset{i=0}{\overset{min(n,k)}{\sum }}S(k,i)\ast i!\ast {}_{}^{}$