看了一道水題，發現這個兩個問題值得記錄一下。

一，直線分割平面：

首先考慮 n條直線最多把平面分成an部分

於是a0=1 a1=2 a2=4

對於已經有n條直線 將平面分成了最多的an塊

那麼加一條直線 他最多與前n條直線有n個交點 於是被它穿過的區域都被一分為二 那麼增加的區域數就是穿過的區域

數 也就是這條直線自身被分成的段數 就是n+1 故 a(n+1) = an+n+1

an = n+(n-1)+...+2+a1 = n(n+1)/2 +1

二，平面分割空間：

設n個平面最多把空間分成bn個部分

於是b0=1 b1=2 b2=4

對於已經有n個平面 將空間分成了最多的bn塊

那麼加入一個平面 它最多與每個平面相交 在它的上面就會得到至多n條交線

同時被它穿過的空間區域也被它一分為二 那麼增加的區域數仍舊是它穿過的區域數 也就是這個平面自身被直線分割

成的塊數 就是an

於是b(n+1)=bn+an

bn=a(n-1)+b(n-1)=...=a(n-1)+a(n-2)+...+a1+b1

=(n-1)n/2 +(n-2)(n-1)/2+...+1*(1+1)/2+n+2

=求和[1方到(n-1)方]/2 + 求和[1到(n-1)]/2 +n+1

=n(n-1)(2n-1)/12 +n(n-1)/4 +n+1

=n(n+1)(n-1)/6 +n+1

=(n^3+5n+6)/6

三，直線分割空間：

由上所述，直接可以得到公式： an = (n*(n+1)/2+1) * (n^3+5n+6)/6

                                                        = (n^5+n^4+7*n^3+11*n^2+16*n)/12+1

四，折線分割平面：

 根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時，區域數為f（n-1）。為了使增加的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。那麼新增的線段數為4*（n-1），射線數為2。但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區域。

 故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

                      =f(n-1)+4(n-1)+1

                     =f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

                     ……

                     =f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

                     =2n^2-n+1