一、映射

設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f

·使得對x中每個元素x 按法則f

·在Y中有唯一確定的元素y與之對應，

·則稱f為從X到Y的映射 記作f:X->Y

·元素y稱為元素x的像，元素x稱為元素y的一個原像

舉例:照鏡子 鏡子中也有一個你 (像和原像

·定義域:集合X稱為映射f的定義域 記作Df 即Df=X

·值域:X中所有元素的像組成的集合稱為映射f的值域

記作Rf或f(X) 即:

Rf = f(X) = {f(x)|x∈X}

映射三要素

·集合X 即定義域Df=X

·集合Y 即值域的範圍 Rf?Y （Y不是值域，Y包含Rf）

·對應法則f 使對每個x∈X 有唯一確定的y=f(x)與之對應

註意

·對每個x∈X 元素x的像y是唯一的

·對每個y∈Rf 元素y的原像不一定是唯一的

·映射f的值域Rf是Y的一個字集 即Rf?Y 不一定Rf=Y

·滿射 Rf=Y

·單射 任意x1 x2 ∈X x1≠x2 有f(x1)≠f(x2)
·一一映射:滿射+單射

·函數的概念

函數的定義(function)

·設數集D?R(實數集) 則稱映射f:D->R為定義在D上的函數 通常簡記為y=f(x) x∈D

·其中x稱為自變量，y稱為因變量 D稱為定義域 記作Df 即Df=D

·函數值:對每個x∈D 按對應法則f 總有唯一確定的值y與之對應 這個值稱為函數f在x處的函數值 記作f(x)

·函數關系:因變量y與自變量x之間的這種依賴關系稱為函數關系

·值域:函數值f(x)全體構成的集合稱為函數f的值域 記作Rf或f(D)

函數的兩要素

·定義域與對應法則

函數的定義域

·有實際意義背景的函數 根據實際背景中變量的實際意義確定

例:自由落體運動 s= 1/gt^2 t∈[0,T]

·抽象的用算式表達的函數 其定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值

y= D:[-1,1]

y= （分母不能為0 根號內也要大於0 所以使(-1,1)

函數的圖形表示方法

·坐標平面上的點集{P(x,y)|y=f(x),x∈D},稱為函數y=f(x) x∈D的圖形

特殊函數舉例:

·符號函數

·y=sgnx = {1(當x>0 0(當x=0 -1(當x<0

（想象一下它的圖形）

·取整函數

y=[x],[x]表示不超過x的最大整數

·取最值函數

y=max{f(x),g(x)}

·分段函數

·在自變量的不同變化範圍中，對應法則用不同的式子來表示的函數，稱為分段函數

三、函數的特性

函數的有界性

·若X?D 存在M>0 對任意x∈X 有|f(x)|<=M成立 則成f(x)在X上有界，否則稱無界

函數的單調增加性

·設函數f(x)的定義域為D 區間I?D

·如果對於區間I上任意兩點x1及x2

·當x1<x2 恒有f(x1)<f(x2)

則稱f(x)在區間I上是單調增加的

函數的單調減少性

…

函數的奇偶性

·設D關於原點對稱

·對於任意x∈D 有f(-x)=f(x)

則稱函數f(x)為偶函數

·設D關於原點對稱，

·對於任意x∈D 有f(-x)=-f(x)

則稱函數f(x)為奇函數

函數的周期性

·設函數f(x)的定義域為D 如果存在一個不為零的數l 使得對於任一x∈D (x+-l)∈D 且f(x+l)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數,l稱為f(x)的函數

四、初等函數

·冪函數 y=x^u

·指數函數 y=a^x

·對數函數 y = logax (a>0且a≠1)

1) 當a=e時 記為y=lnx

·三角函數

·正弦函數 y = sinx

·余弦函數 y = cosx

·正切函數 y = tanx

·余切函數 y = cotx

高等數學(3) 映射與函數