傳送門

解析：

設 $a_n$是 $n$位數中出現偶數個 $5$

顯然我們有以下遞推方程組：
$\{\begin{array}{cc}{\displaystyle }& {\displaystyle }\end{array}$

設 $\{a_n\},\{b_n\}$的生成函式分別為： $A(x)=a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1}+...$ $B(x)=b_1+b_2x+...+b_nx^{n-1}+...$

推一下可以得到兩個式子 $(1-9x)A(x)-xB(x)=a_1=8$ $(1-9x)B(x)-xA(x)=b_1=1$

解得： $A(x)=\frac{8-71x}{(1-8x)(1-10x)}=(\frac{7}{1-8x}+\frac{9}{1-10x})/2$

利用公式 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...$將上式展開得到 $A(x)=(7\sum_{i=0}^{\infty}(8x)^i+9\sum_{i=0}^\infty (10x)^i)/2$

所以對應的係數： $a_n=(7\times 8^{n-1}+9\times 10^{n-1})/2$

程式碼實現很簡單，就不貼了，不過因為巨大的模數導致輸出很多，需要輸出優化。