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生成函式好題。
題意簡述：求 $n$個點的樹的葉子數期望值。

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思路：
考慮 $f_n$

​表示 $n$個節點的樹的數量。
所以有遞推式 $f_0=1,$

f n = ∑ i = 0 n

− 1 f i f n − 1 − i ( n > 0 ) f_0=1,f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-1-i}(n>0)
正是一個卷積的形式。
那麼 $f_n$的生成函式 $F(x)=xF^2(x)+1$ 注意要填上 $f_0$
同理，考慮 $g_n$表示 $n$個節點的樹的葉子數總數。
有遞推式 $g_0=0,g_1=1,g_n=2\sum_{i=0}^{n-1}f_ig_{n-i-1}(n>1)$
所以 $g_n$的生成函式 $G(x)=2xF(x)G(x)+x$ 注意要填上 $g_1$
然後 $F(x)=xF^2(x)+1$
<=> $xF^2(x)-F(x)+1=0$
<=> $F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ 不取 $\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}$是因為它不能向0收斂
$G(x)=\frac x{1-2xF(x)}=\frac x{\sqrt{1-4x}}$
然後我們對 $xF(x)$求導： $(xF(x))&#x27;=\frac1{\sqrt{1-4x}}=\frac{G(x)}x$
而對於 $xF(x)$第 $n$項 $f_nx^{n+1}$求導之後會變成 $f_n(n+1)x^n$等式右邊： $\frac{g_{n+1}x^{n+1}}x=g_{n+1}x^n$，那麼 $g_{n+1}=f_n(n+1)$
我們令答案的函式是 $A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}p_nx^n$