作者：Heinrich，

上一篇文章發出來之後，為了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個心眼，不然就真的像標題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過來掐死我，潛臺詞就是在你學了，但是沒學明白的情況下看了還是不懂，才過來掐死我。

這裡鄭重感謝大連海事大學的吳楠老師，一位學識淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當時大三他教我通訊原理，但是他先用了 4 結課幫我們複習了很多訊號與系統的基本概念，那個用樂譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對這門課豁然開朗，才有了今天的這篇文章。

———今天的定場詩有點長———

下面繼續開始我們無節操的旅程：

上次的關鍵詞是：從側面看。這次的關鍵詞是：從下面看。

在第二課最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅立葉分析究竟是幹什麼用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。

先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行資訊傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個 sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。

好，接下去畫一個 sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標準不標準了，曲線什麼時候上升什麼時候下降你都不一定畫的對吧？

好，畫不出來不要緊，我把 sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把 sin（5x）給我從圖裡拿出去，看看剩下的是什麼。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅立葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是訊號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕鬆的做到。

再說一個更重要，但是稍微複雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅立葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。

傅立葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

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下面我們繼續說相位譜：

通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的資訊。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波 A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那麼這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用 7 個波疊加的圖。

鑑於正弦波是週期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標註了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。

這裡需要糾正一個概念：時間差並不是相位差。如果將全部週期看作 2Pi 或者 360 度的話，相位差則是時間差在一個週期中所佔的比例。我們將時間差除週期再乘 2Pi，就得到了相位差。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的週期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜。”

注意到，相位譜中的相位除了 0，就是 Pi。因為 cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為 Pi 的波只是上下翻轉了而已。對於週期方波的傅立葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由於 cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是週期的，pi 和 3pi，5pi，7pi 都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為 Pi。

最後來一張大集合：

好了，你是不是覺得我們已經講完傅立葉級數了？

抱歉讓你失望了，以上我們講解的只是傅立葉級數的三角函式形式。接下去才是最究極的傅立葉級數——指數形式傅立葉級數。但是為了能更好的理解指數形式的傅立葉級數，我們還需要一個工具來幫忙——尤拉公式。

尤拉公式，以及指數形式的傅立葉級數，我們下一講再講。謝謝大家（鞠躬）。

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今天講的部分不多，但是我希望大家能夠理解，我也有自己的生活，留給知乎的時間並不多，但是我很喜歡在知乎與別人交流的過程。上一次的那些文章大家知道我當時寫了多久麼？四天，每天寫 6 小時那種，而且當時還是在假期。主要是圖太不好做了，有人問到作圖的方法，其實就是簡單的 MATLAB+PHOTOSHOP，作圖的確是很費時間，但是我相信做出這些圖是值得的，因為我相信圖一定比文字更好理解。也希望可以將這些自己學習時的感受和經驗更完整的分享給需要的人。

所以請大家稍微有點耐心，我會認真把這個故事講完。也謝謝大家的理解和支援。

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