下面分為兩個部分：
1. 邏輯迴歸的相關原理說明
2. 通過python程式碼來實現一個梯度下降求解邏輯迴歸過程

邏輯迴歸(Logistic Regression)

首先需要說明，邏輯迴歸屬於分類演算法。分類問題和迴歸問題的區別在於，分類問題的輸出是離散的，如（0，1，2，…）而回歸問題的輸出是連續的。

我們將要用來描述這個分類問題的標記如下:

m$m$ 代表訓練集中例項的數量

n$n$ 代表特徵的數量

x(i)$x^{(i)}$ 表示第i$i$個訓練例項，是特徵矩陣的第i行，是一個向量

x(i)j$x_j^{(i)}$ 表示特徵矩陣中第i$i$行的第j$j$個特徵，也就是第i$i$個訓練例項的第j$j$個特徵

y$y$ 代表目標變數，也就是輸出變數

(x,y)$(x,y)$ 代表訓練集中的一個例項

(x(i),y(i))$(x^{(i)},y^{(i)})$ 代表第i$i$個觀察例項

h$h$ 代表學習演算法的函式，或者假設（hypothesis）

假設函式

邏輯迴歸是線上性迴歸的基礎上，轉化而來的。它是用來解決經典的二分類問題
首先說明下，什麼是二分類問題

我們將輸出結果y$y$可能屬於的兩個類分別稱為負向類（negative class）和正向類（positive class），則輸出結果y$y$屬於0，1 ，其中 0 表示負向類，1 表示正向類。

我們將線性迴歸的輸出記為：

z=θTX$$z={\theta }^{T}X$$
我們知道，線性迴歸的輸出結果是實數域中連續的，要想解決二分類問題，這時，我們引入Sigmoid函式， 對應公式為：g(z)=11+e−z$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

對應影象如上圖，可見，自變數取值為任意實數，值域為[0,1]

經過sigmoid函式，就將任意的輸入對映到了[0,1]區間內，我們線上性迴歸中可以得到一個預測值，再將該值進對映到Sigmoid函式中，這樣就完成了由值到概率的轉換，這就是邏輯迴歸中的分類任務

所以，我們邏輯迴歸的假設函式為：

hθ(x)=g(θTX)=11+e−θTX$$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}X)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}X}}$$

邏輯迴歸的假設函式hθ(x)$h_{\theta }(x)$即為對應y=1的概率值，即我們可以用下式表示：

P(y=1|x;θ)=hθ(x)$$P(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)$$

P(y=0|x;θ)=1−hθ(x)$$P(y=0|x;\theta )=1-h_{\theta }(x)$$
一般情況下，我們判定 當hθ(x)>=0.5$h_{\theta }(x)>=0.5$時，預測y=1$y=1$,當hθ(x)<0.5$h_{\theta }(x)<0.5$時，預測y=0$y=0$。

目標函式

將上述概率進行整合，我們得出：

P(y|x;θ)=(hθ(x))y(1−hθ(x))1−y$$P(y|x;\theta )=(h_{\theta }(x){)}^y(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y}$$ 其中，y$y$屬於0,1$0,1$
由於每個樣本最後得出的概率值都是獨立的，所以，對於所有樣本來說，我們可以得到對應似然函式為：
L(θ)=∏i=1m

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