機器學習，最優化數值計算常用演算法

一機器學習表示及數值求解原理

大部分機器學習，尤其是神經網路、深度網路，最優化一個經驗損失函式（通常帶有正則項），損失函式在某個樣本點可表示為： $L (\vec{β}, X^{(i)})$ ,在訓練樣本上的期望損失函式表示為 $L (\vec{β}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} L (\vec{β}, X^{(i)})$ 訓練就是給定在樣本上尋找期望損失函式 $L (\vec{β})$ 全域性最小值所在的引數 $\vec{β}$ 即：

{\vec{β}}^{*} = \underset{\vec{β} \in Θ}{a r g m i n} L (\vec{β}))

通用的損失函式最優化的數值方法，來源於泰勒展開式，多元函式的泰勒展開式可表示為：

L (\vec{β} + t \vec{α}) = L (\vec{β}) + \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{p} (t α_{j} \frac{\partial}{\partial β_{j}})^{i} L (\vec{β})) + o (t^{n}) \forall ‖ \vec{α} ‖^{2} = 1

1.1 一階逼近

一階泰勒展開式為：

L (\vec{β} + t \vec{α}) = L (\vec{β}) + t \nabla L (\vec{β}) \vec{α} + o (t) \forall ‖ \vec{α} ‖^{2} = 1

給定 $\vec{β}, ‖ \vec{α} ‖^{2} = 1, t > 0$ 的條件下，忽略高階項，在 $\vec{α} = s \nabla L (\vec{β}) ， s = ‖ \vec{\nabla} L (\vec{β}) ‖^{- 1}$

=s∇L(β→)，s=‖∇→L(β→)‖−1時，有最小值。

L (\vec{β} - t \vec{α}) = L (\vec{β}) - t ‖ \vec{\nabla} L (\vec{β}) ‖

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一機器學習表示及數值求解原理

1.1 一階逼近

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