01揹包問題：

有n個物品和一個容量為v的揹包，用val[i]表示第i個物品的價值，用vol[i]表示第i個物品的體積，那麼，如何使揹包裡裝的物品的總價值最大呢？

貪心是不行的，舉個反例：

n=3， v=100

按照val[i]/vol[i]比值從大到小貪心，那麼會得到錯誤答案80，但是正確答案是100

動態規劃的思想：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=0; j<=v; j++){
    if
 
(j>=vol[i])
        dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
        else
        dp[i+1][j] = dp[i][j];
    }
}

如何理解這段程式碼呢？我們設dp[i][j]為前i件物品放在容量為j的揹包裡所能得到的最大價值，那麼思考一下，每個物品都只有兩種可能，放或不放，這就是為什麼叫做01揹包的原因。那麼，我們將第i件物品放在容量為j的揹包中，使dp[i][j]最大，那麼對於第i件物品，也只有兩種操作。於是，我們可以很容易想到，我們不放第i件物品時，是不是需要先知道dp[i-1][j]的值呢？這就形成了dp，形成了一種遞推關係。另一種可能，假設我們放第i件物品，那麼，首先需要考慮當前容量j是否放得下物品i，假設放得下，將j減去vol[i]，即在剩餘的體積放前i件所得到的最大的價值為dp[i][j-vol[i]]，所以總價值為dp[i][j-vol[i]] +val[i]。

那麼，狀態轉移方程為：

dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i])

或者：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vol[i]]+val[i])

這兩種寫法要注意陣列是從0開始還是從1開始

明顯的，時間複雜度是O(n*v)

但是我們還能將空間複雜度降低，從二維降為一維。

看下面這段程式碼：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=v; j>=vol[i]; j--){
    dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i])
    }
}
 

如何理解二維降一維呢？對於外層迴圈中的每一個i值，其實都是不需要記錄的，在第i次迴圈時，所有的dp[0…v]都還未更新時，dp[j]還記錄著前i-1個物品在容量為j時的最大價值，這樣就相當於還記錄著dp[i-1][j]和dp[i-1][j-vol[i]]+val[i]。

為什麼要從v開始遞減遍歷？我舉個例子，假設一個物品GG價值1000，體積為2，那麼假設我們按【0…..v】這個順序遍歷，那麼在j=2時，dp[2] = max(dp[2], dp[0]+1000)，那麼dp[2] = 1000，當j=4時，dp[4]=max(dp[4], dp[2]+1000)， dp[4] = 2000，這時我們再思考一下，GG將被放進揹包兩次！！，如果我們逆序遍歷，就可以避免這種結果。

此外，這裡可以進行一個常數優化，將j>=vol[i]寫進for迴圈中。

大家可以看一下hdu2602這一題，是一題單純的01揹包。

題目：

Bone Collector

Problem Description
Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

Input
The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

Output
One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 231).

Sample Input
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

Sample Output
14

用二維陣列解：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int val[maxn];
int vol[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    int t, n, v;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>v;
        memset(vol, 0, sizeof(vol));
        memset(val, 0, sizeof(val));
        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>val[i];
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>vol[i];

        for(int i=0; i<n; i++){
            for(int j=0; j<=v; j++){
                if(j>=vol[i])
                    dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
                else
                    dp[i+1][j] = dp[i][j];
            }
        }
        cout<<dp[n][v]<<endl;
    }
    return 0;
}

用一維陣列解：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int val[maxn];
int vol[maxn];
int dp[maxn];

int main(){
    int t, n, v;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>v;
        memset(vol, 0, sizeof(vol));
        memset(val, 0, sizeof(val));
        memset(dp,  0, sizeof(dp));
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>val[i];
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>vol[i];

        for(int i=0; i<n; i++){
            for(int j=v; j>=vol[i]; j--){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i]);
            }
        }
        cout<<dp[v]<<endl;
    }
    return 0;
}