尤拉準則

對於質數 $p$， $x^2\equiv a($

證明：

充分性：
$a^{\frac{p-1}{2}}=(x^2)^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv 1\pmod p$

必要性：
設 $g$為模 $p$意義下的原根， $g^i\equiv a\pmod p$，則
$g^{\frac{i(p-1)}{2}}\equiv 1\pmod p$
$g$為原根，則 $(p-1)|\frac{i(p-1)}{2}$， $i$為偶數， $x\equiv g^{\frac i2}\pmod p$

Cipolla演算法

一種求解模奇質數意義下的二次同餘方程的演算法。

即 $p$為奇質數，給定 $a$，求 $x$滿足： $x^2\equiv a\pmod p$

複雜度 $O(\log p)$

具體演算法:

可能需要死記硬背一下。。。

隨機找到任意一個 $b$，滿足 $b^2-a\equiv w$， $w$是模 $p$意義下的非二次剩餘( $w^{\frac{p-1}{2} }\equiv -1\pmod p$)。

類似於虛數，設 $i= \sqrt w$，擴域後每個數表達為 $(a,b)=a+bi$，運算為：
$(r_1,d_1)+(r_2,d_2)=(r_1+r_2,d_1+d_2)$
$(r_1,d_1)·(r_2,d_2)=(r_1 r_2+d_1d_2w,r_1d_2+r_2d_1)$

$<G,+,·>$是個環，滿足交換律和結合律。

答案即為： $x=(b+i)^{\frac {p+1}{2}}$