差分約束問題（Difference constraints）

一類特殊的線性規劃（Linear Program）問題，例如求一個可行n維解向量X，使得其滿足以下m個式子：

利用“最短路徑”解決差分約束問題

①建立一個圖，包含n個結點，m條邊；且對Xj - Xi ≤ Wij，edge(Vi, Vj) = Wij

②增加結點V0，從V0出發引入n條權重為0的邊連結到各個原有結點

③以V0為源結點，利用Bellman-Ford演算法求V0到每個結點的最短路徑δ(V0, Vi)

④若存在負權環，則解不存在；若Bellman-Ford執行良好，則Xi = δ(V0, Vi)

*⑤若要求Xi ≤ 0，則此方法求得的∑Xi最大（解的最大化）

*⑥此方法求的的max{Xi} - min{Xi}最小（L1範數跨度最小）

演算法的證明

分為兩部分證明：

①證明：存在負權環時解不存在

反證法。假設X使得其成立，則約束條件Xj - Xi ≤ Wij的左邊相加為0，右邊相加為負數，則0 ≤ 負數，矛盾

②證明：不存在負權環時解存在

δ(V0, Vj) ≤ δ(V0, Vi)​​​ + Wij     <=>     Xj - Xi ≤ Wij

演算法的優化

優化前，演算法的執行時間（n+1個結點，m+n條邊）：O(n²+mn)

優化：沒有必要引入結點V0，只需要將所有結點的初始值由+∞改為0即可

優化後：O(mn)