根據遞推公式構造係數矩陣用於快速冪

阿新 • • 發佈：2019-01-04

簡單的例子

Fibonacci數列

考慮Fibonacci數列，

F(n)=F(n−1)+F(n−2)
將右邊兩項看做是一個列向量的形式，令
Xn−1={Fn−1Fn−2}
很容易得到Xn的形式，即
Xn={FnFn−1}
現在的任務就是找到一個係數矩陣A，使得AXn−1=Xn，且A需與n無關。
如果能夠找到這個A，則易知An−1X1=Xn，於是可以利用矩陣快速冪計算出Xn。這樣就可以在O(logn)的時間內計算出指定的Fibonacci數。
這個矩陣很容易找，觀察易得
A={1110}(1)

Fibonacci數列變種

推廣一下，如果令Fn=aFn−1+bFn−2

，則係數矩陣為

A={a1b0}(2)

利用二項式展開構造矩陣

計算k次方和

Fibonacci數列只是最簡單的例子，對於稍微複雜一點的例子，二項式展開是常用的一項技術。
考慮計算：

Sn=∑i=1nik
易得
Sn=nk+Sn−1
如果仿照Fibonacci數列，令
Xn−1={nkSn−1}
則
Xn={(n+1)kSn}
此時，可求出
A=⎧⎩⎨⎪⎪(n+1n)k101⎫⎭⎬⎪⎪
這個係數矩陣很明顯是不能用的，因為它與n有關，無法將遞推公式轉化為矩陣的冪運算。
這裡需要使用二項式展開。
Sn=(n−1+1)k+Sn−1=C0k(n−1)k+C1k

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