在測量轉速時，我們經常會看到在方波脈衝的轉折處訊號出現明顯的振盪，如圖1所示。另外在進行錘擊試驗時，有的時候力脈衝也會在脈衝的末端位置出現振盪，如圖2所示。我們已經知道力脈衝出現振盪現象稱之為“振鈴現象”。那麼，為什麼會在訊號的轉折處出現振鈴現象呢？在回答這個問題之前，我們仔細觀察一下這兩個訊號的時域特徵，可以看出這兩個訊號在轉折處都存在階躍突變。

圖1 方波訊號在轉折處出現振盪(圖片來自維基百科)圖2 力脈衝在末端處出現振盪

1 背景

在《什麼是洩漏？》一文中，我們講到對訊號進行FFT處理時，需要做截斷，而截斷又分為週期截斷和非週期截斷。假設原始訊號是單頻正弦波，如果截斷的時間長度剛好是訊號週期的整數倍，那麼，截斷後的每幀資料仍是週期訊號，可重構得到原始的週期訊號，如圖3所示。此時，訊號的頻譜為單一頻率的線狀譜，如圖4所示。

圖3 週期截斷圖4 正弦訊號正確的頻譜

倘若訊號截斷的時間長度不為原始正弦訊號週期的整數倍，那麼，截斷後的訊號則不為週期訊號。對同一個正弦訊號進行非週期截斷，如圖5所示，截斷後的訊號起始時刻和結束時刻的幅值明顯不等，將這個訊號再進行重構，在連線處訊號的幅值不連續，出現階躍，如圖5中黑色圓圈區域所示。對這個訊號進行FFT分析，得到的頻譜如圖6所示，不再是正確的線狀譜了，而是出現了明顯的頻率拖尾效應，頻率成分分佈在整個頻帶上了。

圖5 非週期截斷圖6 非週期截斷導致頻譜拖尾

根據傅立葉變換理論，任何一個訊號都可認為是一系列正弦波之和。對於一個單頻正弦波而言，使用傅立葉級數中的一項就可以描述了，形如Asinωt。但是對於一些訊號，比如矩形脈衝訊號，傅立葉級數要包含很多項，才能近似這個訊號，這是因為矩形脈衝訊號不連續，不像平滑的正弦波。因此，需要多個傅立葉展開項（多條譜線）去近似明顯不連續的訊號。現實世界中，一些常見的訊號例項如圖7所示。

圖7 各種不同的時域訊號（左）和它對應的頻率成分（右）

對於圖7所示的訊號，注意到方波和脈衝訊號具有無窮的頻率成分。這兩個訊號都有存在不連續或突然階躍的情況。對於這種突然瞬間改變的訊號，它具有無窮的頻率成分，使用有限頻率頻寬的資料採集系統是很難重現它們的。這就給測量系統增加了出現吉布斯現象的風險。接下來，我們講講什麼是吉布斯現象。

2 吉布斯現象

在時域描述一個不連續的訊號要求訊號有無窮的頻率成分。但實際情況是不可能採集到無窮的頻率成分。訊號採集系統只能採集一定頻率範圍內的訊號，這將導致出現頻率截斷，頻率截斷會引起時域訊號產生“振鈴效應”，這個現象稱之為吉布斯現象，如圖1和圖2所示。

任何突然不連續或階躍訊號總是會存在出現吉布斯現象，在這，我們使用一個方波訊號來說明。現實世界中可能展示出吉布斯現象的訊號包括汽車駛過坑時產生的衝擊、力脈衝、爆炸聲或者高爾夫球杆擊球時產生的振動等等。

Josiah Willard Gibbs(1839-1903)是美國耶魯大學的科學家，1899年，他在《自然》雜誌上發表了關於一個階躍函式的傅立葉級數中的過沖與下衝，這就是後來知名的“吉布斯現象”。後來發現到這個現象其實已經被英國數學家Henry Wilbraham在1848發現了。儘管這樣，這個現象還是以吉布斯的名字命名。吉布斯是美國第一位工程學博士，他專攻數學物理學，他的工作影響了從化學熱力學到物理光學等多個領域。

圖8 Josiah Willard Gibbs

吉布斯現象體現在測量的時域訊號的階躍/轉折位置出現振鈴效應，如圖9所示。

圖9 方波中的吉布斯現象

在數字訊號採集系統中，在訊號的每一個階躍處，振鈴使得訊號出現不一致。訊號的幅值出現變化或者完全不變化，這依賴於訊號的瞬變時刻與資料取樣點數的相對關係。

當使用少於合適數目的頻率成分來描述訊號時，就會產生振鈴效應。圖10用不同數量的正弦波來描述方波訊號，可以看出，隨著正弦波數量的增加，疊加後的訊號越來越接近方波訊號，振鈴現象越來越弱，振盪的幅值越來越小，持續時間越來越短，訊號的斜率越來越陡峭。

圖10 隨著正弦波資料的增加，吉布斯現象在減弱(圖片來自維基百科)

現實中，經常有一些情況會少於理想數目的頻率成分。

• 頻率截斷：測量系統不可能測量無窮的頻率頻寬。譬如，一個方波訊號應包含無窮的諧波頻率成分，當測量一個方波訊號時，是不可能測量到無窮的諧波頻率成分，訊號總會出現頻率截斷。

• 濾波器形狀：濾波器（如抗混疊濾波器）是測量系統經常要用的工具，它能引入與濾波器銳度相關的振鈴效應。

在時域訊號的每一個不連續處或階躍處，圍繞原始訊號會出現過沖與下衝振鈴。從幅值角度來看，時域訊號的振鈴並不總是想要的，會導致測量得到的幅值與實際訊號的幅值存在差異。

3 吉布斯現象產生的原因與控制

從兩個方面來描述吉布斯現象產生的振鈴效應：

• 幅值：原始訊號中有多大的過沖與下衝；

• 持續時間：振鈴現象持續多長的時間。

這兩個量說明如圖11所示。

圖11 吉布斯現象的振鈴效應的幅值與持續時間

振鈴現象的持續時間受用於描述訊號的頻率成分數量的控制，而幅值受使用的濾波器的型別影響。接下來將使用具有無窮頻率成分的方波來說明吉布斯現象。

振鈴的持續時間：諧波截斷

方波訊號包含奇數的諧波成分，如圖12所示。如果移除一些諧波（如截斷），那麼，方波的時域描述將不精確。

圖12 方波是一個具有無窮奇數諧波的訊號

移除這些諧波，將引入吉布斯現象。在方波波形的轉折處將產生振鈴效應。在圖13中，顯示了同一個方波不同的情況：具有所有的諧波（藍色）、諧波截斷到2000Hz（紅色）和諧波截斷到750Hz（綠色），這是通過使用低通濾波器實現的。圖13頂部顯示同一方波的不同頻譜：原始方波（藍色）、低通2000Hz（紅色）和低通750Hz（綠色）；底部顯示與頂部相對應的時域波形。圖13的下部分的時域訊號表明，移除的諧波成分越多，振鈴效應的持續時間越長。另外，包含的諧波成分越少，方波的階躍或不連續過渡越平滑。在圖13中，綠色曲線的斜率不如藍色和紅色陡峭。

圖13 不同頻率成分的方波的頻譜（上）和時域波形（下）

測量訊號過程中在決定是否出現吉布斯現象起到了重要的作用。如果訊號不出現頻率截斷，那麼，吉布斯現象將不會出現。例如，對一個單頻正弦波施加低通濾波，那麼，將不會出現振鈴效應，如圖14所示。對這個正弦波應用與圖13相同頻率設定的低通濾波，由於訊號頻率遠低於低通濾波的截止頻率，將不會影響單頻正弦波，因為沒有頻率截斷，從而不會出現吉布斯現象。因此，訊號的型別也會影響吉布斯現象的出現。

圖14 對正弦波設定不同的低通濾波頻率，不出現吉布斯現象

當吉布斯效應出現時，振鈴的幅值也部分受採集過程中的抗混疊低通濾波器形狀的影響。

振鈴的幅值：濾波器形狀

訊號測量經常使用抗混疊濾波器，這個低通抗混疊濾波器的形狀對決定吉布斯現象中的振鈴效應的幅值來說，是非常重要的。濾波器的銳度越大，振鈴的幅值越大。

圖15中重疊顯示了兩種不同型別的濾波器：一種是貝塞爾濾波器，一種是巴特沃斯濾波器。相比巴特沃斯濾波器，貝塞爾濾波器衰減更平坦，銳度更小。貝塞爾濾波器和巴特沃斯濾波器有相同的-3dB截止點（是它們的交點），但貝塞爾濾波器衰減更平坦。

圖15 對比2階，低通截止2000Hz的貝塞爾濾波器與巴特沃斯濾波器

在圖16中，貝塞爾濾波後的方波的振鈴效應的幅值低於相同的方波經巴特沃斯濾波後的振鈴幅值。實際上，設計的巴特沃斯濾波器具有固定的過沖。從圖16中可以看出，更平坦的貝塞爾濾波不會引入時域的振鈴效應，不像更銳的巴特沃斯濾波。

圖16 經貝塞爾濾波器與巴特沃斯濾波器低通截斷後的方波

濾波器的形狀越尖銳，時域資料出現吉布斯現象的可能性更大。為什麼會這樣呢？本質上，它與濾波器的時域形狀相關。

當對頻域的濾波器形狀進行傅立葉逆變換時，結果稱之為“脈衝”或“時間階躍函式”。濾波器的頻域頻寬越寬，時域脈衝持續時間越短。隨著脈衝持續時間的變短，振鈴現象越佔主導。這就是為什麼更陡峭的巴特沃斯濾波產生了振鈴，而更平坦的貝塞爾濾波器卻沒有。

4 吉布斯現象例項

在文章的起始部分，我們講到轉速測量時，方波訊號會出現吉布斯現象。通過上面的分析，想必你已經清楚原因：方波具有無窮的頻率成分，但由於取樣時只能按一定的取樣率進行，因此，必將出現頻率截斷，從而導致出現吉布斯現象。

另外，我們還講到錘擊法測試時的力脈衝有時也會出現振鈴現象，這也是吉布斯現象。在文章《05.08：為什麼力脈衝會出現振鈴現象？》中，我們講到設定不同的頻率頻寬對觀測到的振鈴效應的影響。使用四種不同硬度的錘頭，設定兩組不同的頻率範圍。四種錘頭分別為非常軟的紅色氣囊錘頭、中等硬度的藍色塑料錘頭、較硬的白色塑料錘頭和金屬錘頭。每種情況下，錘頭錘擊結構便獲得一條時域力脈衝波形。在一組測試中，設定頻率頻寬為400Hz，另一組測試中，設定頻率頻寬為1600Hz。圖17和圖18中顯示了這兩組不同頻寬、不同錘頭錘擊得到的力脈衝時域波形。兩圖從頂部到底部，分別對應的錘頭由最軟到最硬。

圖17 錘擊設定400Hz的頻寬圖18 錘擊設定1600Hz的頻寬

注意到400Hz頻寬內，隨著錘頭由軟到硬，力脈衝振鈴現象越來越明顯。比較400Hz和1600Hz的頻寬，力脈衝振鈴效應有明顯的變化：1600Hz頻寬幾乎沒有明顯振鈴現象：前面兩個錘頭根本看不出振鈴現象，後面兩個錘頭有很輕微的振鈴現象。二者唯一不同之處是選擇的頻寬不同。

這是因為越硬的錘頭，力脈衝作用時間越短，越能激起更寬的頻率範圍，或者說描述更短的力脈衝，需要更多數目的頻率成分。隨著錘頭由軟到硬，能激起的頻率範圍越來越寬，那麼，400Hz以上的頻率成分越來越多，當頻寬設定為400Hz時，移除的頻率成分會越來越多，即頻率截斷越嚴重，原理同圖13，這樣導致振鈴效應越來越明顯。而當頻寬設定為1600Hz時，這個頻寬內的頻率成分用來描述前面兩個軟錘頭的力脈衝是合適的，因此，不會出現吉布斯現象。但當採用白色塑料頭和金屬頭時，力脈衝的作用時間更短，能激起更寬的頻率範圍，這在一定程度上超出了1600Hz，因而造成了頻率截斷，故，這兩個錘頭也出現了很輕微的振鈴現象。

5 結論

取樣過程中，由於資料採集系統只能採集到一定頻率範圍之內的訊號，如果訊號的頻率成分沒有越出資料採集裝置取樣時的頻寬，那麼將不會出現吉布斯現象；如果訊號的頻率成分超出了資料採集裝置取樣時的頻寬，那麼，將會出現吉布斯現象。但是可通過使用合適的抗混疊低通濾波器，吉布斯現象對測量的時域訊號的影響可以很大程度上減小或消除。以下方法應時刻記住：

• 可通過在資料採集過程中使用合適的抗混疊低通濾波器避免產生不可預測的過沖的振鈴效應的吉布斯現象。濾波器的頻率截斷和形狀影響著吉布斯現象的幅值和持續時間。

• 在包含階躍或不連續的瞬態訊號中，也可觀察到吉布斯現象。正弦訊號不會出現吉布斯現象。在資料採集過程中，只有當移除了訊號的部分頻率成分時，才會出現吉布斯現象。
• 吉布斯現象主要影響時域，不影響頻域。

參考：

1. 維基百科；
2. 部分圖文來自內部文件；
3. Peter Avitabile 《Modal Space》

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