高等數學筆記

第一章 第一節 極限

1.什麼是極限

我們先舉一個例子簡單的瞭解一下極限是什麼

例：an=nn+1，當n=1，2，3…時，a1，a2，a3=12，23，34…,求1是數列an=nn+1的極限。${a_n}^{}=\frac{n}{n+1}，當n=1，2，3\dots 時，a_1，a_2，a_3=\frac{1}{2}，\frac{2}{3}，\frac{3}{4}\dots ,求1是數列{a_n}^{}=\frac{n}{n+1}的極限。$
解：取∀ε>0,設|an−1|=1n+1<ε。∃N=⌊1ε⌋−1，當n>N時，|an−1|=1n+1<ε,$取\mathrm{\forall }\epsilon >0,設|a_n-1|=\frac{1}{n+1}<\epsilon 。\mathrm{\exists }N=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor -1，當n>N時，|a_n-1|=\frac{1}{n+1}<\epsilon ,$

∴limn→+∞an=1$\therefore \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=1$

首先我們簡單的觀察一下{an}$\left\{{a_n}^{}\right\}$的規律，an=nn+1${a_n}^{}=\frac{n}{n+1}$隨著n的取值不斷的增大會越來越趨於1，這是可以先判斷出來的。我們先假設一個數ε$\epsilon$，可以是任何一個數，這裡我強調的是一個任意性。|an−1|$|a_n-1|$表示的是an$a_n$與1之間的距離，我們先假設這個距離是小於ε$\epsilon$,也就小於任何一個數字。然後我們再取一個數字N,設N=⌊1ε⌋−1$N=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor -1$，這個數字是肯定存在的，因為之前這就是我通過假設推出來的:(1n+1<ε⇔n>⌊1ε⌋−1)$\left(\frac{1}{n+1}<\epsilon \iff n>\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor -1\right)$。也就是說只要我的n>N了，就是

n>⌊1ε⌋−1$n>\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor -1$，就是|an−1|=1n+1<ε$|a_n-1|=\frac{1}{n+1}<\epsilon$。應為

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