1.2 姿態誤差模型

姿態誤差模型，是研究的重點。
一種新的對準方法，的新意就主要集中於姿態誤差模型的不同。
例如：
從源頭上就分成了，慣性系下 和 地理座標系下的對準；（本文先分析後者）
然後，地理座標系下的姿態誤差模型本身，即不做簡化，應為非線性模型，
因此，此處為處理非線性模型，分成了三種：
直接使用非線性模型、對非線性模型做近似線性處理 和 使用姿態態誤差為小角度時的線性模型（即，做了個姿態誤差為小角度的假設）

接下來要介紹的就是，地理座標系下、基於姿態誤差角為小角度假設的，姿態誤差模型：

秦書P314

目標：匯出 ϕ˙$\dot{\varphi }$ 的方程（即 Cn′n$C_n^{}$

n′ 和 δQ$\delta Q$）
先已知： 四元數表示形式下的理想情況下姿態更新方程

Q˙=12Q⊗ωbnb$$\dot{Q}=\frac{1}{2}Q\otimes {\omega }_{nb}^b$$
考慮誤差的實際情況下:
Q^˙=12Q^⊗ω^bnb$$\dot{\hat{Q}}=\frac{1}{2}\hat{Q}\otimes {\hat{\omega }}_{nb}^b$$

• Q^$\hat{Q}$與姿態矩陣 Cn′b$C_b^{n^{\prime }}$對應
• Q^=δQ∗⊗Q$\hat{Q}=\delta Q^{\ast }\otimes Q$ 與 Cn′b=Cn′nCnb$C_b^{n^{\prime }}=C_n^{n^{\prime }}{C}_b^n$對應

Q^=δQ∗⊗Q$$\hat{Q}=\delta Q^{\ast }\otimes Q$$

δQ$\delta Q$為Q^$\hat{Q}$引起的誤差四元數：

δQ=Q⊗Q^∗$$\delta Q=Q\otimes {\hat{Q}}^{\ast }$$
對兩邊求導，結果即為目標所求：
δQ˙=Q˙⊗Q^∗+Q⊗Q^˙∗=12Q⊗ωbnb⊗Q^∗+12Q⊗(−ω^bnb)⊗Q^∗=−1

2Q⊗δω^bnb⊗Q^∗$$\delta \dot{Q}=\dot{Q}\otimes {\hat{Q}}^{\ast }+Q\otimes {\dot{\hat{Q}}}^{\ast }=\frac{1}{2}Q\otimes {\omega }_{nb}^b\otimes {\hat{Q}}^{\ast }+\frac{1}{2}Q\otimes (-{\hat{\omega }}_{nb}^b)\otimes {\hat{Q}}^{\ast }=-\frac{1}{2}Q\otimes {\delta \hat{\omega }}_{nb}^b\otimes {\hat{Q}}^{\ast }$$

• 其中，δω^bnb$\delta {\hat{\omega }}_{nb}^b$需要用已知量來表示：