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【51nod 1238】最小公倍數之和

阿新 • • 發佈：2019-01-05

題意:求 ∑ i = 1 n ∑ j
= 1 n l c m ( i , j
) \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(i, j)

題解：

原式可化為：
∑ i =

1 n ∑ j = 1 n i j g c d ( i , j ) \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{ij}{gcd(i, j)}
∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ d = 1 n i j d [ d = g c d ( i , j ) ] \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^n\frac{ij}{d}[d=gcd(i, j)]
將i, 改為 i d id ，j改為 j d jd ：
∑ d = 1 n d ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ i ∑ j = 1 ⌊ n d ⌋ j [ g c d ( i , j ) = 1 ] \sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}j[gcd(i, j)=1]
引理1： ∑ i = 1 n i [ g c d ( n , i ) = 1 ] = n ϕ ( n ) + [ n = 1 ] 2 \sum_{i=1}^{n}i[gcd(n, i)=1]=\frac{n\phi{(n)}+[n=1]}{2}
理由如下:
由於對任意 g c d ( n , i ) = 1 gcd(n,i)=1 ，由輾轉相除得: g c d ( n , n − i ) = 1 gcd(n, n-i)=1
故 ∑ i = 1 n i [ g c d ( n , i ) = 1 ] = n ϕ ( n ) + [ n = 1 ] 2 \sum_{i=1}^{n}i[gcd(n, i)=1]=\frac{n\phi{(n)}+[n=1]}{2}
繼續化簡:
若 i = j = 1 i=j=1 ，則會被多算一次，故減1
若 i = j ≠ n i=j\neq{n} ，則 g c d ( i , j ) ≠ 1 gcd(i,j)\neq{1} ，故不會被重複 計算
故
∑ d = 1 n d ( 2 ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ i ∑ j = 1 i j [ g c d ( i , j ) = 1 ] − 1 ) \sum_{d=1}^nd(2\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}i\sum_{j=1}^{i}j[gcd(i, j)=1]-1)
由引理1：
∑ d = 1 n d ( 2 ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ i i ϕ ( i ) + [ i = 1 ] 2 − 1 ) \sum_{d=1}^nd(2\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor}i\frac{i\phi{(i)+[i=1]}}{2}-1)
當 i = 1 i=1 時， i ϕ ( i ) + [ i = 1 ] 2 = 1 \frac{i\phi{(i)+[i=1]}}{2}=1
故

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