EM演算法求解混合伯努利模型

阿新 • • 發佈：2019-01-05

本文記錄了EM演算法求解混合伯努利分佈的推導，並提供了matlab實驗程式碼。

混合伯努利分佈

單個D維伯努利分佈的分佈率為：

p(x|μ)=∏d=1Dμxdd(1−μd)1−xd,
這裡x=(x1,…,xD)T為D維0-1向量，μ=(μ1,…,μD)T為對應維度上事件發生的概率。
混合伯努利分佈是指由K個單個D維伯努利分佈混合構成的分佈，分佈率如下：
p(x|μ,π)=∑k=1Kπkp(x|μk),
這裡μ={μ1,…,μK},π={π1,…,πK},
p(x|μk)=∏d=1Dμxdkd(1−μkd)1−xd.

EM演算法混合伯努利分佈

現在我們有一個來自於混合伯努利分佈的資料集X

={x1,…,xN}，我們要最大化其似然函式：

maxμ,πlnp(X|μ,π)=∑n=1Nln{∑k=1Kπkp(xn|μk)}.
由於ln函式中的求和項，無法得到其閉式解，我們用EM演算法求其一個區域性數值解。關於EM演算法的內容見上一篇部落格。對於樣本xn，我們構造一個隱變數zn用來表示xn來自於哪個模型。也即，zn=k當且僅當xn來自於第k個伯努利模型。令Z={z1,…,zn}，則X,Z聯合分佈為：
p(X,Z|μ,π)=∏n=1Nπznp(xn|μzn).
M步我們要求解
maxμ,π∑Zp(Z|X,μ¯,π¯)lnp(X,Z|μ,π)=∑n=1N∑k=1Kp(

EM演算法求解混合伯努利模型

本文記錄了EM演算法求解混合伯努利分佈的推導，並提供了matlab實驗程式碼。混合伯努利分佈單個D維伯努利分佈的分佈率為： p(x|μ)=∏d=1Dμxdd(1−μd)1−xd, 這裡x=(x1,…,xD)T為D維0-1向量，μ=(μ1,…,μD

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