全錯位排列 
 
先看下面例子：
例1    5個人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少種不同的站法。
這個問題在高中很多參考書上都有，有幾種解法，其中一解法是用排除法：
先考慮5個有的全排列，有A55種不同的排法，然後除去甲排第一（有A44種）與乙排第二（也有A44種），但兩種又有重複部分，因此多減，必須加上多減部分，這樣得到共有：A55－2A44＋A33＝78種。

現在考慮：
例2    5個人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少種不同的站法。
仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64種
這與全錯位排列很相似。
全錯位排列——即n個元素全部都不在相應位置的排列。看下面的問題

例3    5個人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少種不同的站法。
解析：上面例1，例2實際上可以看成n個不同元素中有m（m≤n）不排在相應位置。

公式一：n個不同元素排成一排，有m個元素（m≤n）不排在相應位置的排列種數共有：Ann－C(m,1)?A(n-1,n-1)+C(m,2)?A(n-2,n-2)+……+(-1)^m?C(m,m)?A(n-m,n-m)
這個公式在n＝m時亦成立
從而這個問題可能用上面的公式得出：
A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44種
（注意A00＝0!＝1）

再看1993年高考題：
同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來。然後每人從中拿一張別人送出的賀年卡。則四張賀年卡不同的分配方式有
(A)6種　　　　　　 (B)9種　　　　　　　 (C)11種　　　　　　(D)23種
解析：由上面公式得：
A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9種，∴選擇B答案

因此可得到全錯位排列的公式：
n個不同元素排成一排，第一個元素不在第一位，第二個元素不在第二位，……，第n個元素不在第n位的排列數為：
Ann-C(n,1)?A(n-1,n-1)+C(n,2)?A(n-2,n-2)+……+(-1)^n?C(n,n)?A(n-n,n-n)

這實際上是公式一的特殊情況。這個公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的問題，都可以用這個公式很快得到解決，希望這個公式對大家有所幫助。