令第 $i$ 家住戶為 $V_{i}$ 。令當 $X = i$ 時，使總疲勞度最大的情況下推銷的 $i$ 個住戶集合為 $U_{i}$ ，最大疲勞度為 $W_{i} .$

證明命題： $\forall i \in [1, N - 1], U_{i} \subseteq U_{i + 1} .$

$Ⅰ .$ 當 $i = 1$ 時：

假設 $U_{1} ⊈ U_{2}$ ，不妨設 ${V_{1}} = U_{1}, {V_{2}, V_{3}} = U_{2}, S_{2} < S_{3} .$

$1^{\circ}, S_{1} > S_{2}$ （如圖1)

有

W_{1} = 2 S_{1} + A_{1},

W_{2} = 2 S_{3} + A_{3} + A_{2} .

由於 $W_{1}$ 為當 $X = 1$

X = 1

時最大疲勞度，因此有

2 S_{1} + A_{1} > 2 S_{3} + A_{3}

，則

W_{2} = 2 S_{3} + A_{3} + A_{2} < 2 S_{1} + A_{1} + S_{2} .

對應的實際情景是，在 $X = 2$ 時，選擇 $V_{2}, V_{3}$ 推銷的疲勞度沒有選擇 $V_{1}, V_{2}$ 的疲勞度大，則選擇 $V_{2}, V_{3}$ 推銷不能使疲勞度最大，即

V_{3} \notin U_{2}

又由 $V_{3}$ 選取的任意性可得， $\forall i (S_{2} < S_{i}, i \neq 1), 都有 V_{i} \notin U_{2}$ ，因此${\rm{Ⅰ}}中假設不成立，且有

V_{1} \in U_{2}, U_{1} \subseteq U_{2}