小明把鑰匙丟了，只知道鑰匙肯定丟在家裡或者學校裡。如果丟在了家裡，在家裡找一次能夠找到的概率為a；如果丟在了學校裡，在學校裡找一次能夠找到的概率為b。最初小明認為鑰匙丟在家裡的概率為p。問：小明應該採取什麼策略來找鑰匙才能夠最快找到鑰匙（尋找次數儘量少）？期望尋找次數是多少？

a = 0.8  # 在家找到的概率
b = 0.4  # 在學校找到的概率


def solve(p, c):
    # 鑰匙在家的概率為p，返回最優決策、期望找到鑰匙所花費的步數
    if c == 0:
        return max(1 / a, 1 / b)  # 如果最後沒有找到
    if p > b / (a + b):
        step = solve(p * (1 - a) / (1 - p * a), c - 1)
        ifhome = 1 + step * (1 - p * a)  # 如果去家裡找，期望找到的步數
        return ifhome
    else:
        step = solve(p / (1 - (1 - p) * b), c - 1)
        ifschool = 1 + step * (1 - (1 - p) * b)
        # 選取兩個兒子中期望步數較小者
        return ifschool


import pylab as plt
import numpy as np
print(solve(0.3, 200))
xs = np.linspace(0, 1, 1000)
ps = [solve(i, 200) for i in xs]
plt.plot(xs, ps)
plt.xlabel("p")
plt.ylabel("step")
print(b/(a+b))
plt.plot([b/(a+b)] * 100, np.linspace(0, max(ps), 100), c='r')
plt.show()