位元組跳動冬令營網路賽 D.The Easiest One(貪心 數位DP)
\(x:\ 11010011\)
\(y:\ 10011110\)
（下標是從高位往低位，依次是\(1,2,...,n\)）
比如對於這兩個數，先找到最高的滿足\(x\)是\(0\)，\(y\)是\(1\)的一位\(j\)，顯然我們還要找比\(i\)高的最近的一位\(i\)，滿足第\(i\)位\(x\)為\(1\)，\(y\)為\(0\)。
然後我們要將\(x\)中\(i\)之後的位上的\(1\)全變成\(0\)，然後\(x\)-=\(1\)，才能使得\(x\)在\(j\)這一位為\(1\)。這樣\(x\)的第\(i\)位變為\(0\)，之後全變為\(1\)，顯然此時還需要的代價就是 \(n-i-\ y的後i位中1的個數\)
而之前的代價就是 \(x後i位中1的個數\)。再算上\(i\)及前\(i\)位的代價，記\(cnt(x)\)為\(x\)的二進位制表示中\(1\)的個數，\(x\)變成\(y\)的總代價其實就是 \(cnt(x)-cnt(y)+n-i\)。
這樣就可以數位DP了。
\(f[i][las][0/1][0/1][0/1]\)表示 當前考慮到第\(i\)位，最近的滿足\(x\)是\(1\)，\(y\)是\(0\)的位是\(las\)，是否處於上界，是否\(x\)已經大於\(y\)（要保證\(x\geq y\)），是否已統計過答案（只在最高的那位\(j\)統計答案），此時的總答案。
同樣還需要記\(g[i][las][0/1][0/1][0/1]\)
轉移時列舉\(x,y\)當前位填什麼就行了。
狀態數\(O(n^2)\)。程式碼在這兒，博文最下面也有。
也有\(O(n)\)的解法（我用記搜寫了下，程式碼在這兒，博文最下面也有）：
orz \(tangjz\)的題解後，發現\(las\)這一維很容易就省去了...
原本記\(las\)是為了計算\(n-i\)這部分貢獻，放到程式碼中就是\(ans\)+=\(g*(n-i)\)（\(g\)是方案數）。
現在我們只記是否出現過\(i\)（其實是三進位制，分別表示未出現\(i,j\)、出現過\(i\)還沒出現\(j\)、\(i,j\)都出現了），如果出現過\(i\)
這樣對於\(i\)，\(g\)的貢獻還是會算\(n-i\)次。
這樣複雜度就是\(O(n)\)了。
解釋一下\(tangjz\)的程式碼。。
寫的從低位往高位的遞推，每次列舉當前要計算的位\(i\)，然後列舉\(j,k\)（\(j\)是上界，\(k\)是那個三進位制），據此列舉（要滿足這個狀態）第\(i\)位\(x,y\)填\(0\)還是\(1\)。
因為是從低位往高位（要注意轉移對狀態），所以\(k=2\)是說還沒有找到\(v\)；\(k=1\)是指找到了\(v\)但沒有確定\(u\)；\(k=0\)是指\(u,v\)都已經確定了。
那麼看轉移，\(j\)這維和記搜寫法是一樣的...（其實哪一維和記搜都差不多）。
下面忽略\(j\)這一維，只考慮\(k\)。為了不混用，下面的\(u,v\)就是最上面\(x\)變成\(y\)這一過程中的\(i,j\)，代價還是\(cnt[x]+cnt[y]+n-u\)。
\(k=0\)，\(f[i][0]\)可以\(f[i-1][0],f[i-1][1]\)轉移。但要從\(f[i-1][1]\)轉移就是令第\(i\)位為\(u\)，也就是需滿足\(x=1,y=0\)，此時既可以\(f[i-1][0]\)也可以從\(f[i-1][1]\)轉移。
\(k=1\)，\(f[i][1]\)可以\(f[i-1][1],f[i-1][2]\)轉移。同理要從\(f[i-1][2]\)轉移就是令第\(i\)位為\(v\)，也就是要滿足\(x=0,y=1\)，且此時只能從\(f[i-1][2]\)轉移。
上面兩個轉移雖然形式像但是不同。
\(k=2\)，\(f[i][2]\)只能從\(f[i-1][2]\)轉移。
當\(k=1\)或\(2\)時，也就是\(u\)還沒出現，此時\(ans\)+=\(g\)（每次答案都累加一次方案數），這樣就能統計\(n-u\)這個答案了。
還不懂的話看程式碼吧...感覺說不太清楚啊QAQ
\(O(n^2)\)：
//0.68s 16.9MB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;
int A[N];
pr f[N][N][8];
char s[N];
pr DFS(int x,int las,int s)//s:lim,f1,f2 f1:是否已x>y f2:是否已統計過答案
{
if(!x) return mp(0,1);
if(f[x][las][s].first!=-1) return f[x][las][s];
LL res1=0,res2=0;
int lim=s&1, f1=s>>1&1, f2=s>>2&1;
for(int i=0; i<2; ++i)
for(int j=0; j<2; ++j)
{
if(lim && i>A[x]) continue;
if(!f1 && i<j) continue;
pr v=DFS(x-1,i>j?x:las,(lim&&i==A[x])|((f1||i>j)<<1)|((f2||i<j)<<2));
res1+=v.first, res2+=v.second;
if(i) res1+=v.second;
if(j) res1+=mod-v.second;
if(!f2 && i<j) res1+=1ll*v.second*(las-1)%mod;
}
return f[x][las][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}
int main()
{
// freopen("yjqaa.in","r",stdin);
// freopen("yjqaa.out","w",stdout);
scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
std::reverse(s+1,s+1+n);
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=0; j<=n; ++j)
f[i][j][0].first=f[i][j][1].first=f[i][j][2].first=f[i][j][3].first=
f[i][j][4].first=f[i][j][5].first=f[i][j][6].first=f[i][j][7].first=-1;
// f[i][j][0][0][0].first=f[i][j][0][0][1].first=f[i][j][0][1][0].first=f[i][j][0][1][1].first=
// f[i][j][1][0][0].first=f[i][j][1][0][1].first=f[i][j][1][1][0].first=f[i][j][1][1][1].first=-1;
printf("%d\n",DFS(n,0,1).first);
return 0;
}\(O(n)\)：
//4ms 488KB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;
int A[N];
pr f[N][2][3];
char s[N];
void operator +=(pr &x,pr y)
{
Add(x.first,y.first), Add(x.second,y.second);
}
pr DFS(int x,int lim,int s)//s:0/1/2
{
if(!x) return s==1?mp(0,0):mp(0,1);
if(f[x][lim][s].first!=-1) return f[x][lim][s];
LL res1=0,res2=0;
const int xL=0, xR=lim?A[x]:1;
for(int i=xL; i<=xR; ++i)
{
const int yL=s==1?i:0, yR=!s?i:1;
for(int j=yL; j<=yR; ++j)
{
pr v;
if(!s)
{
v=DFS(x-1,lim&&i==xR,0);
if(i && !j) v+=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
}
else if(s==1)
{
if(!i && j) v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
}
else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
res1+=v.first, res2+=v.second;
// if(i) res1+=v.second;
// if(j) res1+=mod-v.second;
// if(s) res1+=v.second;
res1+=(i-j+(s>0))*v.second;
}
}
return f[x][lim][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}
int main()
{
// freopen("yjqaa.in","r",stdin);
// freopen("yjqaa.out","w",stdout);
int T; scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
std::reverse(s+1,s+1+n);
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
for(int i=1; i<=n; ++i)
f[i][0][0].first=f[i][0][1].first=f[i][0][2].first=
f[i][1][0].first=f[i][1][1].first=f[i][1][2].first=-1;
printf("%d\n",DFS(n,1,0).first);
}
return 0;
}