數學基礎複習之概率論（大部分來自百度百科和課本內容）

1.概率函式：

（百度說的概率函式一般指概率分佈函式，但課件裡邊提到概率函式時是如下意思↓）

離散型隨機變數的分佈的表現形式

注：截圖來自同濟大學概率論與數理統計課件

2.概率密度函式：

在數學中，連續型隨機變數的概率密度函式（在不至於混淆時可以簡稱為密度函式）是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函式。而隨機變數的取值落在某個區域之內的概率則為概率密度函式在這個區域上的積分。當概率密度函式存在的時候，累積分佈函式是概率密度函式的積分。概率密度函式一般以小寫標記。

對概率密度函式作傅立葉變換可得特徵函式。

特徵函式與概率密度函式有一對一的關係。因此知道一個分佈的特徵函式就等同於知道一個分佈的概率密度函式。
3.累積分佈函式（分佈函式） 對於所有實數，累積分佈函式定義如下： 即累積分佈函式表示：對離散變數而言，所有小於等於a的值出現概率的和。 性質：有界性；單調性（單調增）；右連續性 4.關聯： 分佈函式是概率密度函式的積分。 對於一維實隨機變數X，設它的累積分佈函式是    ,如果存在可測函式    滿足：    ,那麼X是一個連續型隨機變數，並且    是它的概率密度函式。 連續型隨機變數的概率密度函式有如下性質： 如果概率密度函式fX(x)在一點x上連續，那麼累積分佈函式可導，並且它的導數：   由於隨機變數X的取值 只取決於概率密度函式的積分，所以概率密度函式在個別點上的取值並不會影響隨機變數的表現。更準確來說，如果一個函式和X的概率密度函式取值不同的點只有有限個、可數無限個或者相對於整個實數軸來說測度為0（是一個零測集），那麼這個函式也可以是X的概率密度函式。 連續型的隨機變數取值在任意一點的概率都是0。作為推論，連續型隨機變數在區間上取值的概率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}並不是不可能事件。 5.高斯分佈 也稱正態分佈

高斯白噪聲，是指噪聲的概率密度函式滿足正態分佈統計特性，同時它的功率譜密度函式是常數的一類噪聲。在通訊系統的理論分析中，特別是在分析、計算系統抗噪聲效能時，經常假定系統中通道噪聲為高斯型白噪聲。其原因在於1.高斯型白噪聲可用具體數學表示式表述，便於推導分析和運算；2.高斯型白噪聲確實反映了實際通道中的加性噪聲情況，比較真實地代表了通道噪聲的特性。